En el área matemática de la topología , la conjetura de Poincaré generalizada es una afirmación de que una variedad que es una esfera de homotopía es una esfera . Más precisamente, se fija una categoría de variedades: topológicas ( Top ), lineales a trozos ( PL ) o diferenciables ( Diff ). Entonces la declaración es
- Cada esfera de homotopía (una variedad n cerrada que es homotopía equivalente a la esfera n ) en la categoría elegida (es decir, variedades topológicas, variedades PL o variedades suaves) es isomorfa en la categoría elegida (es decir, homeomorfa, PL-isomorfa o diffeomorphic) a la n -esfera estándar .
El nombre deriva de la conjetura de Poincaré , que fue hecha para variedades (topológicas o PL) de dimensión 3, donde ser una esfera de homotopía equivale a estar simplemente conectada y cerrada . Se sabe que la conjetura generalizada de Poincaré es verdadera o falsa en varios casos, debido al trabajo de muchos topólogos distinguidos, incluidos los ganadores de la medalla Fields John Milnor , Steve Smale , Michael Freedman y Grigori Perelman .
Estado
Aquí hay un resumen del estado de la conjetura de Poincaré generalizada en varios escenarios.
- Arriba : verdadero en todas las dimensiones.
- PL : verdadero en dimensiones distintas de 4; desconocido en la dimensión 4, donde es equivalente a Diff.
- Diferencia : falso en general, verdadero en algunas dimensiones, incluidas 1, 2, 3, 5 y 6. El primer contraejemplo conocido está en la dimensión 7. El caso de la dimensión 4 es equivalente a PL y no está resuelto (a partir de 2019[actualizar]).
Un hecho fundamental de la topología diferencial es que la noción de isomorfismo en Top, PL y Diff es la misma en la dimensión 3 e inferior; en la dimensión 4, PL y Diff concuerdan, pero Top difiere. En la dimensión superior a 6, todos difieren. En las dimensiones 5 y 6, cada colector PL admite una estructura infinitamente diferenciable que se denomina compatible con Whitehead . [1]
Historia
El caso n = 1 y 2 se conoce desde hace mucho tiempo, por clasificación de variedades en esas dimensiones.
Para un PL o n-esfera de homotopía suave , en 1960 Stephen Smale demostró queque era homeomorfo a la n- esfera y posteriormente extendió su prueba a; [2] recibió una medalla Fields por su trabajo en 1966. Poco después del anuncio de Smale de una prueba, John Stallings dio una prueba diferente para dimensiones al menos 7 de que una n- esfera de homotopía PL era homeomórfica a la n- esfera usando la noción de "envolver". [3] EC Zeeman modificó la construcción de Stalling para trabajar en las dimensiones 5 y 6. [4] En 1962, Smale demostró que una esfera n de homotopía PL era PL-isomórfica a la esfera n PL estándar durante n al menos 5. [5] En 1966, MHA Newman extendió PL envolver a la situación topológica y demostró que parauna n- esfera de homotopía topológica es homeomórfica a la n -esfera. [6]
Michael Freedman resolvió el caso(en Top) en 1982 y recibió una Medalla Fields en 1986. [7]
Grigori Perelman resolvió el caso(donde Top, PL y Diff coinciden) en 2003 en una secuencia de tres artículos. [8] [9] [10] Se le ofreció una Medalla Fields en agosto de 2006 y el Premio Millennium del Clay Mathematics Institute en marzo de 2010, pero rechazó ambos.
Esferas exoticas
La conjetura generalizada de Poincaré es verdadera topológicamente, pero falsa suavemente en algunas dimensiones. Esto da como resultado construcciones de variedades que son homeomórficas, pero no difeomórficas, de la esfera estándar, que se conocen como esferas exóticas : puede interpretarlas como estructuras suaves no estándar en la esfera estándar (topológica).
Por lo tanto, las esferas de homotopía que produjo John Milnor son homeomórficas (isomórficas superiores y, de hecho, homeomórficas lineales por partes) a la esfera estándar., pero no son difeomórficas (Diff-isomorfas) y, por lo tanto, son esferas exóticas : pueden interpretarse como estructuras diferenciables no estándar en la esfera estándar.
Michel Kervaire y Milnor demostraron que la 7-esfera orientada tiene 28 estructuras lisas diferentes (o 15 orientaciones que ignoran), y en dimensiones más altas generalmente hay muchas estructuras lisas diferentes en una esfera. [11] Se sospecha que ciertas estructuras diferenciables en la 4-esfera, llamadas torsiones de Gluck , no son isomórficas a la estándar, pero por el momento no hay invariantes conocidos capaces de distinguir diferentes estructuras lisas en una 4-esfera. [12]
PL
Para las variedades lineales por partes , la conjetura de Poincaré es cierta excepto posiblemente en la dimensión 4, donde la respuesta es desconocida y equivalente al caso suave. En otras palabras, cada variedad PL compacta de dimensión no igual a 4 que es homotopía equivalente a una esfera es PL isomorfa a una esfera. [1]
Referencias
- ↑ a b Véase Buoncristiano, Sandro (2003). "Fragmentos de topología geométrica de los años sesenta" (PDF) . Monografías de geometría y topología . 6 .
- ^ Smale, Stephen (1961). "Conjetura de Poincaré generalizada en dimensiones superiores a cuatro". Ana. de Matemáticas . (2). 74 (2): 391–406. doi : 10.2307 / 1970239 . Señor 0137124 .
- ^ Stallings, John (1960). "Esferas de homotopía poliédrica" . Boletín de la American Mathematical Society . 66 : 485–488. doi : 10.1090 / S0002-9904-1960-10511-3 .
- ^ Zeeman, Erik Christopher (1962). "La conjetura de Poincaré para n mayor o igual a 5". Topología de 3 variedades y temas relacionados (Proc. The Univ. Of Georgia Institute, 1961) . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice – Hall: 198–204. Señor 0140113 .
- ^ Smale, Stephen (1962). "Sobre la estructura de las variedades". Amer. J. Math . 84 (3): 387–399. doi : 10.2307 / 2372978 . Señor 0153022 .
- ^ Newman, MHA (1966). "El teorema envolvente de los colectores topológicos". Annals of Mathematics . (2). 84 (3): 555–571. doi : 10.2307 / 1970460 . Señor 0203708 .
- ^ Freedman, Michael (1982). "La topología de variedades de cuatro dimensiones" . Revista de geometría diferencial . 17 (3): 357–453. doi : 10.4310 / jdg / 1214437136 . Señor 0679066 .
- ^ Perelman, Grigori (11 de noviembre de 2002). "La fórmula de la entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas". arXiv : math.DG / 0211159 .
- ^ Perelman, Grigori (10 de marzo de 2003). "Ricci flow con cirugía en tres colectores". arXiv : math.DG / 0303109 .
- ^ Perelman, Grigori (17 de julio de 2003). "Tiempo de extinción finito para las soluciones al flujo de Ricci en ciertos tres múltiples". arXiv : math.DG / 0307245 .
- ^ Kervaire, Michel A .; Milnor, John W. (1963). "Grupos de esferas de homotopía: I". Annals of Mathematics . 2do Ser. 77 (3): 504–537. doi : 10.2307 / 1970128 . JSTOR 1970128 . Señor 0148075 . Este artículo calcula la estructura del grupo de estructuras suaves en una n-esfera para .
- ^ Gluck, Herman (1962). "La incrustación de dos esferas en las cuatro esferas" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc . 104 (2): 308–333. doi : 10.2307 / 1993581 .