Los métodos H ∞ (es decir, " H -infinito ")se utilizan en la teoría de control para sintetizar controladores para lograr la estabilización con un rendimiento garantizado. Para usarmétodos H ∞ , un diseñador de control expresa el problema de control como unproblema de optimización matemática y luego encuentra el controlador que resuelve esta optimización. Las técnicas H ∞ tienen la ventaja sobre las técnicas de control clásicas en que las técnicas H ∞ son fácilmente aplicables a problemas que involucran sistemas multivariados con acoplamiento cruzado entre canales; desventajas de H ∞Las técnicas incluyen el nivel de comprensión matemática necesario para aplicarlas con éxito y la necesidad de un modelo razonablemente bueno del sistema a controlar. Es importante tener en cuenta que el controlador resultante solo es óptimo con respecto a la función de costo prescrita y no necesariamente representa el mejor controlador en términos de las medidas de rendimiento habituales utilizadas para evaluar los controladores, como el tiempo de asentamiento, la energía consumida, etc. Además, las restricciones no lineales como la saturación generalmente no se manejan bien. Estos métodos fueron introducidos en la teoría de control a fines de la década de 1970 y principios de la de 1980 por George Zames (minimización de sensibilidad), [1] J. William Helton (adaptación de banda ancha), [2] y Allen Tannenbaum (optimización del margen de ganancia). [3]
La frase control H ∞ proviene del nombre del espacio matemático sobre el cual tiene lugar la optimización: H ∞ es el espacio de Hardy de funciones matriciales que son analíticas y limitadas en la mitad derecha abierta del plano complejo definido por Re ( s )> 0; la norma H ∞ es el valor singular máximo de la función en ese espacio. (Esto se puede interpretar como una ganancia máxima en cualquier dirección y en cualquier frecuencia; para los sistemas SISO , esta es efectivamente la magnitud máxima de la respuesta de frecuencia). Las técnicas H ∞ pueden usarse para minimizar el impacto de bucle cerrado de una perturbación: dependiendo en la formulación del problema, el impacto se medirá en términos de estabilización o desempeño.
Es difícil optimizar simultáneamente un rendimiento robusto y una estabilización robusta. Un método que se acerca a lograr esto es el modelado de bucle H ∞ , que permite al diseñador de control aplicar conceptos clásicos de modelado de bucle a la respuesta de frecuencia multivariable para obtener un buen rendimiento robusto y luego optimiza la respuesta cerca del ancho de banda del sistema para lograr una buena estabilización robusta.
Hay software comercial disponible para admitir la síntesis del controlador H ∞ .
Formulación del problema
Primero, el proceso debe representarse de acuerdo con la siguiente configuración estándar:
La planta P tiene dos entradas, la entrada exógena w , que incluye señal de referencia y perturbaciones, y las variables manipuladas u . Hay dos salidas, las señales de error z que queremos minimizar y las variables medidas v , que usamos para controlar el sistema. v se utiliza en K para calcular las variables manipuladas u . Observe que todos estos son generalmente vectores , mientras que P y K son matrices .
En fórmulas, el sistema es:
Por tanto, es posible expresar la dependencia de z en w como:
Llamada la transformación fraccional lineal inferior ,está definido (el subíndice viene de abajo ):
Por tanto, el objetivo de El diseño de control es encontrar un controlador. tal que se minimiza de acuerdo con la norma. La misma definición se aplica adiseño de control. La norma infinita de la matriz de funciones de transferencia. Se define como:
dónde es el valor singular máximo de la matriz.
La norma H ∞ alcanzable del sistema de circuito cerrado se da principalmente a través de la matriz D 11 (cuando el sistema P se da en la forma ( A , B 1 , B 2 , C 1 , C 2 , D 11 , D 12 , D 22 , D 21 )). Hay varias formas de llegar a un controlador H ∞ :
- Una parametrización de Youla-Kucera del circuito cerrado a menudo conduce a un controlador de orden muy alto.
- Los enfoques basados en Riccati resuelven 2 ecuaciones de Riccati para encontrar el controlador, pero requieren varios supuestos simplificadores.
- Una reformulación de la ecuación de Riccati basada en la optimización utiliza desigualdades matriciales lineales y requiere menos supuestos.
Ver también
Referencias
- ^ Zames, George (1981). "Retroalimentación y sensibilidad óptima: transformaciones de referencia del modelo, seminormas multiplicativos e inversos aproximados". Transacciones IEEE sobre control automático . 26 (2): 301–320. doi : 10.1109 / tac.1981.1102603 .
- ^ Helton, J. William (1978). "Estructura de la órbita de la acción de semigrupo de transformación de Mobius en H-infinito (emparejamiento de banda ancha)". Adv. Matemáticas. Supl. Stud . 3 : 129-197.
- ^ Tannenbaum, Allen (1980). "Estabilización por retroalimentación de plantas dinámicas lineales con incertidumbre en el factor de ganancia". Revista Internacional de Control . 32 (1): 1–16. doi : 10.1080 / 00207178008922838 .
Bibliografía
- Barbu, V .; Sritharan, Sivaguru S. (1998), "H-infinity Control of Fluid Dynamics" (PDF) , Proceedings of the Royal Society A , 545 (1979): 3009-3033, CiteSeerX 10.1.1.177.4397 , doi : 10.1098 / rspa .1998.0289.
- Doyle, John; Francis, Bruce; Tannenbaum, Allen (1992), Teoría del control de retroalimentación , MacMillan.
- Green, M .; Limebeer, D. (1995), Control robusto lineal , Prentice Hall.
- Simon, Dan (2006), Estimación del estado óptimo: enfoques de Kalman, H-infinito y no lineales , Wiley.
- Skogestad, Sigurd; Postlethwaite, Ian (1996), Control de retroalimentación multivariable: análisis y diseño , Wiley, ISBN 978-0-471-94277-1.
- Skogestad, Sigurd; Postlethwaite, Ian (2005), Control de retroalimentación multivariable: análisis y diseño (2a ed.), Wiley, ISBN 978-0-470-01167-6.