En matemáticas , el teorema de descomposición de Hahn , llamado así por el matemático austriaco Hans Hahn , establece que para cualquier espacio medible y cualquier medida firmada definido en el -álgebra , existen dos -conjuntos medibles, y , de tal que:
- y .
- Para cada tal que , uno tiene , es decir, es un conjunto positivo para.
- Para cada tal que , uno tiene , es decir, es un conjunto negativo para .
Además, esta descomposición es esencialmente única , lo que significa que para cualquier otro par de -subconjuntos medibles de cumpliendo las tres condiciones anteriores, las diferencias simétricas y están - conjuntos nulos en el sentido fuerte de que cada-el subconjunto medible de ellos tiene medida cero. El parluego se llama descomposición de Hahn de la medida con signo.
Una consecuencia del teorema de descomposición de Hahn es el teorema de descomposición de Jordan , que establece que toda medida con signo definido en tiene una descomposición única en una diferencia de dos medidas positivas, y , al menos uno de los cuales es finito, de modo que para cada -subconjunto medible y para cada -subconjunto medible , para cualquier descomposición de Hahn de . Nosotros llamamos y la parte positiva y negativa de, respectivamente. El parse llama descomposición de Jordan (o, a veces , descomposición de Hahn-Jordan ) de. Las dos medidas se pueden definir como
para cada y cualquier descomposición de Hahn de .
Tenga en cuenta que la descomposición de Jordan es única, mientras que la descomposición de Hahn es solo esencialmente única.
La descomposición de Jordan tiene el siguiente corolario: dada una descomposición de Jordan de una medida finita firmada , uno tiene
para cualquier en . Además, si por un par de medidas finitas no negativas sobre , luego
La última expresión significa que la descomposición de Jordan es la descomposición mínima deen una diferencia de medidas no negativas. Ésta es la propiedad de minimidad de la descomposición de Jordan.
Prueba de la descomposición de Jordan: Para una prueba elemental de la existencia, unicidad y minimidad de la descomposición de la medida de Jordan, véase Fischer (2012) .
Preparación: suponga que no toma el valor (de lo contrario, descomponerse de acuerdo con ). Como se mencionó anteriormente, un conjunto negativo es un conjunto tal que para cada -subconjunto medible .
Afirmación: suponga que satisface . Entonces hay un conjunto negativo tal que .
Prueba de la reclamación: Definir. Asumir inductivamente para que ha sido construido. Dejar
denotar el supremo de sobre todo el -subconjuntos medibles de . Este supremo podría ser a priori infinito. Como el conjunto vacío es un posible candidato para en la definición de , y como , tenemos . Por la definición de, entonces existe un -subconjunto medible satisfactorio
Colocar para finalizar el paso de inducción. Finalmente, defina
Como los conjuntos son subconjuntos disjuntos de , se sigue de la aditividad sigma de la medida firmada que
Esto muestra que . Asumirno eran un conjunto negativo. Esto significa que existiría un-subconjunto medible que satisface . Luego para cada , por lo que la serie de la derecha tendría que divergir para, lo que implica que , que no está permitido. Por lo tanto, debe ser un conjunto negativo.
Construcción de la descomposición: Conjunto. Inductivamente, dado, definir
como el mínimo de sobre todo el -subconjuntos medibles de . Este infimum podría ser a priori. Como es un posible candidato para en la definición de , y como , tenemos . Por tanto, existe un-subconjunto medible tal que
Según la afirmación anterior, hay un conjunto negativo tal que . Colocarpara finalizar el paso de inducción. Finalmente, defina
Como los conjuntos son disjuntos, tenemos para cada -subconjunto medible que
por la aditividad sigma de . En particular, esto muestra quees un conjunto negativo. A continuación, defina. Si no fuera un conjunto positivo, existiría un -subconjunto medible con . Luego para todos y
que no está permitido para . Por lo tanto, es un conjunto positivo.
Prueba de la declaración de unicidad: suponga que es otra descomposición de Hahn de . Luegoes un conjunto positivo y también un conjunto negativo. Por lo tanto, cada subconjunto medible tiene medida cero. Lo mismo se aplica a. Como
esto completa la prueba. QED