campo tensor
En matemáticas y física , un campo tensorial asigna un tensor a cada punto de un espacio matemático (típicamente un espacio euclidiano o variedad ). Los campos tensoriales se utilizan en geometría diferencial , geometría algebraica , relatividad general , en el análisis de tensiones y deformaciones en materiales y en numerosas aplicaciones en las ciencias físicas . Como tensor es una generalización de un escalar (un número puro que representa un valor, por ejemplo, la velocidad) y un vector(un número puro más una dirección, como la velocidad), un campo tensorial es una generalización de un campo escalar o un campo vectorial que asigna, respectivamente, un escalar o un vector a cada punto del espacio.
Muchas estructuras matemáticas llamadas "tensores" son campos de tensores. Por ejemplo, el tensor de curvatura de Riemann no es un tensor, como su nombre lo indica, sino un campo tensorial : lleva el nombre de Bernhard Riemann y asocia un tensor a cada punto de una variedad riemanniana , que es un espacio topológico .
Intuitivamente, un campo vectorial se visualiza mejor como una "flecha" unida a cada punto de una región, con longitud y dirección variables. Un ejemplo de un campo vectorial en un espacio curvo es un mapa meteorológico que muestra la velocidad horizontal del viento en cada punto de la superficie terrestre.
La idea general del campo tensorial combina el requisito de una geometría más rica (por ejemplo, un elipsoide que varía de un punto a otro, en el caso de un tensor métrico ) con la idea de que no queremos que nuestra noción dependa del método particular de cartografiando la superficie. Debería existir independientemente de la latitud y la longitud, o de cualquier "proyección cartográfica" particular que estemos usando para introducir coordenadas numéricas.
Siguiendo a Schouten (1951) y McConnell (1957) , el concepto de tensor se basa en un concepto de marco de referencia (o sistema de coordenadas ), que puede ser fijo (en relación con algún marco de referencia de fondo), pero en general se le puede permitir varían dentro de alguna clase de transformaciones de estos sistemas de coordenadas. [1]
Por ejemplo, las coordenadas que pertenecen al espacio de coordenadas reales de n dimensiones pueden estar sujetas a transformaciones afines arbitrarias :
