Medio entero

Número racional igual a un entero más 1/2

En matemáticas , un medio entero es un número de la forma

${\displaystyle n+{\tfrac {1}{2}}}$,

donde es un número entero . Por ejemplo, ${\displaystyle n}$

4 + 1 / 2 , 7 / 2 , - + 13 / 2 , 8,5

son todos medio enteros . El nombre "medio entero" es quizás engañoso, ya que se puede malinterpretar el conjunto para incluir números como 1 (que es la mitad del entero 2). Un nombre como "entero más la mitad" puede ser más exacto, pero aunque no sea literalmente cierto, "medio entero" es el término convencional. ^{[ cita requerida ]} Los medios enteros ocurren con suficiente frecuencia en matemáticas y en mecánica cuántica que un término distinto es conveniente.

Tenga en cuenta que dividir por la mitad un número entero no siempre produce un medio entero; esto solo es cierto para los números enteros impares . Por esta razón, los semieros también se denominan a veces semientos impares . Los medios enteros son un subconjunto de los racionales diádicos (números producidos al dividir un número entero por una potencia de dos ). ^[1]

Notación y estructura algebraica

El conjunto de todos los medios enteros a menudo se denota

${\displaystyle \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\quad =\quad \left({\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} \right)\smallsetminus \mathbb {Z} ~.}$

Los enteros y los semientos juntos forman un grupo bajo la operación de suma, que se puede denotar ^[2]

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.}$

Sin embargo, estos números no forman un anillo porque el producto de dos medios enteros a menudo no es un medio entero; p ^. ej. ^[3]${\displaystyle ~{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}~=~{\tfrac {1}{4}}~\notin ~{\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.}$

Usos

Embalaje de esfera

El empaquetamiento de celosía más denso de esferas unitarias en cuatro dimensiones (llamado celosía D ₄ ) coloca una esfera en cada punto cuyas coordenadas son todos enteros o todos medios enteros. Este empaquetamiento está estrechamente relacionado con los enteros de Hurwitz : cuaterniones cuyos coeficientes reales son todos enteros o todos semientos. ^[4]

Física

En física, el principio de exclusión de Pauli resulta de la definición de fermiones como partículas que tienen espines que son medio enteros. ^[5]

Los niveles de energía del oscilador armónico cuántico se producen en sem enteros y, por lo tanto, su energía más baja no es cero. ^[6]

Volumen de la esfera

Aunque la función factorial se define solo para argumentos enteros, se puede extender a argumentos fraccionarios usando la función gamma . La función gamma para sem enteros es una parte importante de la fórmula para el volumen de una bola n- dimensional de radio R , ^[7]

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}~.}$

Los valores de la función gamma en medios enteros son múltiplos enteros de la raíz cuadrada de pi :

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)~=~{\frac {\,(2n-1)!!\,}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi \,}}~=~{\frac {(2n)!}{\,4^{n}\,n!\,}}{\sqrt {\pi \,}}~}$

donde n !! denota el factorial doble .

Referencias

1. Sabin, Malcolm (2010). Análisis y Diseño de Esquemas de Subdivisión Univariante . Geometría y Computación. 6 . Saltador. pag. 51. ISBN 9783642136481.
2. Turaev, Vladimir G. (2010). Invariantes cuánticos de nudos y 3 colectores . Estudios de De Gruyter en Matemáticas. 18 (2ª ed.). Walter de Gruyter. pag. 390. ISBN 9783110221848.
3. Boolos, George; Burgess, John P .; Jeffrey, Richard C. (2002). Computabilidad y lógica . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 105. ISBN 9780521007580.
4. Báez, John C. (2005). "Revisión sobre cuaterniones y octoniones: su geometría, aritmética y simetría por John H. Conway y Derek A. Smith" . Boletín de la American Mathematical Society (reseña de un libro). 42 : 229–243. doi : 10.1090 / S0273-0979-05-01043-8 .
5. Mészáros, Péter (2010). El universo de alta energía: eventos de energía ultra alta en astrofísica y cosmología . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 13. ISBN 9781139490726.
6. Fox, Mark (2006). Óptica cuántica: una introducción . Oxford Master Series en Física. 6 . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 131. ISBN 9780191524257.
7. "Ecuación 5.19.4" . Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de EE. UU . 6 de mayo de 2013. Versión 1.0.6.