Panal de 16 celdas | |
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Proyección en perspectiva : la primera capa de facetas adyacentes de 16 celdas. | |
Tipo | Regular 4 panal Uniforme 4 panal |
Familia | Nido de abeja hipercubo alterno |
Símbolo de Schläfli | {3,3,4,3} |
Diagramas de Coxeter | = = |
Tipo de 4 caras | {3,3,4} |
Tipo de célula | {3,3} |
Tipo de cara | {3} |
Figura de borde | cubo |
Figura de vértice | 24 celdas |
Grupo Coxeter | = [3,3,4,3] |
Doble | {3,4,3,3} |
Propiedades | vértice-transitiva , borde-transitiva , cara-transitiva , celda-transitiva , 4-cara-transitiva |
En la geometría euclidiana de cuatro dimensiones , el panal de 16 celdas es una de las tres teselaciones regulares que llenan el espacio (o panales ), representadas por el símbolo de Schläfli {3,3,4,3}, y construido por un empaquetamiento de 4 dimensiones de Facetas de 16 celdas , tres alrededor de cada rostro.
Su doble es el panal de 24 celdas . Su figura de vértice es de 24 celdas . La disposición de los vértices se llama celosía B 4 , D 4 o F 4 . [1] [2]
Nombres Alternativos
- Tetrapanal / panal hexadecachórico
- Demitasseractic tetracomb / nido de abeja
Coordenadas
Los vértices se pueden colocar en todas las coordenadas enteras (i, j, k, l), de modo que la suma de las coordenadas sea par.
D 4 celosía
La disposición del vértice del panal de 16 celdas se llama celosía D 4 o celosía F 4 . [2] Los vértices de esta red son los centros de las 3 esferas en el empaquetamiento más denso conocido de esferas iguales en 4 espacios; [3] su número de besos es 24, que también es el mismo que el número de besos en R 4 , como lo demostró Oleg Musin en 2003. [4] [5]
El relacionado D+
4 celosía (también llamada D2
4) se puede construir mediante la unión de dos celosías D 4 , y es idéntica a la celosía C 4 : [6]
- ∪ = =
El número de besos para D+
4es 2 3 = 8, (2 n - 1 para n <8, 240 para n = 8 y 2 n ( n - 1) para n > 8). [7]
El relacionado D*
4 celosía (también llamada D4
4 y C2
4) se puede construir mediante la unión de las cuatro celosías D 4 , pero es idéntica a la celosía D 4 : también es el cuerpo tetradimensional centrado cúbico , la unión de dos panales de 4 cubos en posiciones duales. [8]
- ∪ ∪ ∪ = = ∪ .
El número de besos de la D*
4celosía (y celosía D 4 ) es 24 [9] y su teselado Voronoi es un panal de 24 celdas ,, que contiene todas las células Voronoi rectificadas de 16 celdas ( 24 celdas ) , o . [10]
Construcciones de simetría
Hay tres construcciones de simetría diferentes de esta teselación. Cada simetría se puede representar mediante diferentes disposiciones de facetas de 16 celdas coloreadas .
Grupo Coxeter | Símbolo de Schläfli | Diagrama de Coxeter | Simetría de la figura del vértice | Facetas / verf |
---|---|---|---|---|
= [3,3,4,3] | {3,3,4,3} | [3,4,3], orden 1152 | 24: 16 celdas | |
= [3 1,1 , 3,4] | = h {4,3,3,4} | = | [3,3,4], orden 384 | 16 + 8: 16 celdas |
= [3 1,1,1,1 ] | {3,3 1,1,1 } = h {4,3,3 1,1 } | = | [3 1,1,1 ], orden 192 | 8 + 8 + 8: 16 celdas |
2 × ½= [[(4,3,3,4,2 + )]] | ht 0,4 {4,3,3,4} | 8 + 4 + 4: 4-demicube 8: 16-célula |
Panales relacionados
Está relacionado con el panal hiperbólico de 5 espacios y 5 ortoplex regular , {3,3,3,4,3}, con facetas de 5 ortoplex , el 4-polytope regular de 24 celdas , {3,4,3} con celda octaédrica (3-ortoplex) y cubo {4,3}, con caras cuadradas (2-ortoplex).
Tiene un análogo bidimensional, {3,6} , y como forma alterna (el panal demitaseráctico , h {4,3,3,4}) está relacionado con el panal cúbico alternado .
Este panal es uno de los 20 panales uniformes construidos por el Grupo de Coxeter , todos menos 3 repetidos en otras familias por simetría extendida, visto en el gráfico de simetría de anillos en los diagramas de Coxeter-Dynkin . Las 20 permutaciones se enumeran con su relación de simetría extendida más alta:
Panales D5 | |||
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Simetría extendida | Diagrama extendido | Grupo extendido | Panales |
[3 1,1 , 3,3 1,1 ] | |||
<[3 1,1 , 3,3 1,1 ]> ↔ [3 1,1 , 3,3,4] | ↔ | × 2 1 = | , , , , , , |
[[3 1,1 , 3,3 1,1 ]] | × 2 2 | , | |
<2 [3 1,1 , 3,3 1,1 ]> ↔ [4,3,3,3,4] | ↔ | × 4 1 = | , , , , , |
[<2 [3 1,1 , 3,3 1,1 ]>] ↔ [[4,3,3,3,4]] | ↔ | × 8 = × 2 | , , |
Ver también
Panales regulares y uniformes en 4 espacios:
- Nido de abeja tesseractic
- Panal de 24 celdas
- Nido de abeja truncado de 24 celdas
- Nido de abeja de 24 celdas Snub
- Panal de 5 celdas
- Nido de abeja truncado de 5 celdas
- Nido de abeja omnitruncado de 5 celdas
Notas
- ^ http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/F4.html
- ^ a b http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/D4.html
- ^ Conway y Sloane, Empaquetaduras, celosías y grupos de esferas, empaquetaduras 1.4 n-dimensionales, p.9
- ^ Conway y Sloane, Empaquetaduras, celosías y grupos de esferas, 1.5 Resumen de resultados del problema de empaquetadura de esferas. , pág.12
- ^ O Musin (2003). "El problema de las veinticinco esferas". Russ. Matemáticas. Surv . 58 (4): 794–795. Código Bibliográfico : 2003RuMaS..58..794M . doi : 10.1070 / RM2003v058n04ABEH000651 .
- ^ Conway y Sloane, Empaquetaduras, celosías y grupos de esferas, 7.3 El empaque D 3 + , p.119
- ^ Conway y Sloane, Empaquetaduras, celosías y grupos de esferas, p. 119
- ^ Conway y Sloane, Empaquetaduras, celosías y grupos de esferas, 7.4 La celosía dual D 3 * , p.120
- ^ Conway y Sloane, Empaquetaduras, celosías y grupos de esferas, p. 120
- ^ Conway y Sloane, Empaquetaduras, celosías y grupos de esferas, p. 466
Referencias
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3a edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8
- pp. 154-156: truncamiento parcial o alternancia, representada por h prefijo: h {4,4} = {4,4}; h {4,3,4} = {3 1,1 , 4}, h {4,3,3,4} = {3,3,4,3}, ...
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Lista completa de 11 teselaciones uniformes convexas, 28 panales uniformes convexos y 143 tetracumbas uniformes convexas)
- Klitzing, Richard. "Teselaciones euclidianas 4D" . x3o3o4o3o - hext - O104
- Conway JH, Sloane NJH (1998). Empaquetaduras, celosías y grupos de esferas (3ª ed.). ISBN 0-387-98585-9.
Espacio | Familia | / / | ||||
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E 2 | Azulejos uniformes | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Hexagonal |
E 3 | Nido de abeja convexo uniforme | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Uniforme de 4 panales | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | Panal de 24 celdas |
E 5 | Uniforme de 5 panales | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Uniforme de 6 panales | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Uniforme de 7 panales | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Uniforme de 8 panal | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Uniforme de 9 panales | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E 10 | Uniforme de 10 panal | {3 [11] } | δ 11 | hδ 11 | qδ 11 | |
E n -1 | Uniforme ( n -1) - panal | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |