Cuaternio

En matemáticas , el sistema de números de cuaterniones amplía los números complejos . Los cuaterniones fueron descritos por primera vez por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1843 ^{[1] [2]} y aplicados a la mecánica en el espacio tridimensional . Hamilton definió un cuaternión como el cociente de dos líneas dirigidas en un espacio tridimensional, ^[3] o, de manera equivalente, como el cociente de dos vectores . ^{[4] La} multiplicación de cuaterniones no es conmutativa .

Los cuaterniones se usan en matemáticas puras , pero también tienen usos prácticos en matemáticas aplicadas , particularmente para cálculos que involucran rotaciones tridimensionales , como en gráficos de computadora tridimensionales , visión por computadora y análisis de textura cristalográfica . ^[5] Se pueden utilizar junto con otros métodos de rotación, como los ángulos de Euler y las matrices de rotación , o como una alternativa a ellos, según la aplicación.

En el lenguaje matemático moderno , los cuaterniones forman un álgebra de división normalizada asociativa de cuatro dimensiones sobre los números reales y, por lo tanto, también un dominio . El álgebra de cuaterniones a menudo se denota con H (para Hamilton ), o en negrita en negrita con. También puede ser dada por las clasificaciones de álgebra de Clifford . De hecho, fue la primera álgebra de división no conmutativa que se descubrió. ${\ Displaystyle \ mathbb {H}.}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {0,2} (\ mathbb {R}) \ cong \ operatorname {Cl} _ {3,0} ^ {+} (\ mathbb {R}).}$

Según el teorema de Frobenius , el álgebra es uno de los dos únicos anillos de división de dimensión finita que contienen un subanillo adecuado isomórfico a los números reales; el otro son los números complejos. Estos anillos también son álgebras euclidianas de Hurwitz , de las cuales los cuaterniones son el álgebra asociativa más grande . Si se extienden más los cuaterniones, se obtienen los octoniones no asociativos , que es el último álgebra de división normalizada sobre los números reales. (Las sedeniones , la extensión de las octoniones, tienen cero divisores y, por lo tanto, no pueden ser un álgebra de división normalizada). ^[6]${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

Los cuaterniones unitarios se pueden considerar como una elección de una estructura de grupo en las 3 esferas S ³ que da el grupo Spin (3) , que es isomorfo a SU (2) y también a la cobertura universal de SO (3) .

Los cuaterniones fueron introducidos por Hamilton en 1843. ^[7] Los precursores importantes de este trabajo incluyeron la identidad de cuatro cuadrados de Euler (1748) y la parametrización de rotaciones generales de Olinde Rodrigues por cuatro parámetros (1840), pero ninguno de estos escritores trató la identidad de cuatro parámetros rotaciones como álgebra. ^{[8] [9]} Carl Friedrich Gauss también había descubierto cuaterniones en 1819, pero este trabajo no se publicó hasta 1900. ^{[10] [11]}