En matemáticas , específicamente en geometría algebraica y topología algebraica , el teorema del hiperplano de Lefschetz es una declaración precisa de ciertas relaciones entre la forma de una variedad algebraica y la forma de sus subvariedades. Más precisamente, el teorema dice que para una variedad X incrustado en espacio proyectivo y una sección hiperplano Y , la homología , cohomology , y grupos de homotopía de X determinar los de Y . Un resultado de este tipo fue declarado por primera vez por Solomon Lefschetzpara grupos de homología de variedades algebraicas complejas. Desde entonces se han encontrado resultados similares para grupos de homotopía, en característica positiva y en otras teorías de homología y cohomología.
Sea X una variedad algebraica proyectiva compleja n- dimensional en CP N , y sea Y una sección de hiperplano de X tal que U = X ∖ Y es suave. El teorema de Lefschetz se refiere a cualquiera de los siguientes enunciados: [1] [2]
Usando una secuencia larga exacta , se puede demostrar que cada una de estas afirmaciones es equivalente a un teorema de desaparición para ciertos invariantes topológicos relativos. En orden, estos son:
Solomon Lefschetz [3] usó su idea de un lápiz Lefschetz para demostrar el teorema. En lugar de considerar solo la sección Y del hiperplano , la puso en una familia de secciones del hiperplano Y t , donde Y = Y 0 . Debido a que una sección de hiperplano genérico es suave, todos menos un número finito de Y t son variedades suaves. Después de eliminar estos puntos del plano t y hacer un número finito adicional de ranuras, la familia resultante de secciones de hiperplano es topológicamente trivial. Es decir, es un producto de un Y t genérico con un subconjunto abierto de t-plano. X , por lo tanto, puede entenderse si se comprende cómo se identifican las secciones de hiperplano a través de las rendijas y en los puntos singulares. Lejos de los puntos singulares, la identificación se puede describir de forma inductiva. En los puntos singulares, el lema Morse implica que hay una elección de sistema de coordenadas para X de una forma particularmente simple. Este sistema de coordenadas se puede utilizar para demostrar el teorema directamente. [4]
Aldo Andreotti y Theodore Frankel [5] reconocieron que el teorema de Lefschetz podría reformularse utilizando la teoría de Morse . [6] Aquí el parámetro t juega el papel de una función Morse. La herramienta básica en este enfoque es el teorema de Andreotti-Frankel , que establece que una variedad afín compleja de dimensión compleja n (y por lo tanto dimensión real 2 n ) tiene el tipo de homotopía de un complejo CW de dimensión (real) n . Esto implica que los grupos de homología relativa de Y en X son triviales en grado menor quen . La larga secuencia exacta de homología relativa da entonces el teorema.
Ni la demostración de Lefschetz ni la de Andreotti y Frankel implican directamente el teorema del hiperplano de Lefschetz para grupos de homotopía. René Thom encontró un enfoque que sí lo hizo a más tardar en 1957 y fue simplificado y publicado por Raoul Bott en 1959. [7] Thom y Bott interpretan Y como el lugar de fuga en X de una sección de un paquete de líneas. Una aplicación de la teoría de Morse a esta sección implica que X puede ser construido a partir de Y por las células adyacentes de dimensión n o más. De esto se deduce que la homología relativa y los grupos de homotopía de Y en X se concentran en gradosny superior, lo que produce el teorema.