función armónica
En matemáticas , física matemática y teoría de los procesos estocásticos , una función armónica es una función diferenciable dos veces continuamente f : U → R , donde U es un subconjunto abierto de Rn , que satisface la ecuación de Laplace , es decir,
El descriptor "armónico" en el nombre función armónica se origina en un punto de una cuerda tensa que experimenta un movimiento armónico . La solución a la ecuación diferencial para este tipo de movimiento se puede escribir en términos de senos y cosenos, funciones que se conocen como armónicos . El análisis de Fourier implica expandir funciones en el círculo unitario en términos de una serie de estos armónicos. Considerando análogos dimensionales superiores de los armónicos en la unidad n - esfera , se llega a los armónicos esféricos . Estas funciones satisfacen la ecuación de Laplace y, con el tiempo, se usó "armónico" para referirse a todas las funciones que satisfacen la ecuación de Laplace. [1]
En la siguiente tabla se dan ejemplos de funciones armónicas de tres variables con :
Las funciones armónicas que surgen en la física están determinadas por sus singularidades y condiciones de contorno (como las condiciones de contorno de Dirichlet o las condiciones de contorno de Neumann ). En regiones sin límites, la suma de la parte real o imaginaria de cualquier función completa producirá una función armónica con la misma singularidad, por lo que en este caso la función armónica no está determinada por sus singularidades; sin embargo, podemos hacer que la solución sea única en situaciones físicas al requerir que la solución se acerque a 0 cuando r se acerque a infinito. En este caso, la unicidad sigue el teorema de Liouville .
Los puntos singulares de las funciones armónicas anteriores se expresan como " cargas " y " densidades de carga " utilizando la terminología de la electrostática , por lo que la función armónica correspondiente será proporcional al potencial electrostático debido a estas distribuciones de carga. Cada función anterior producirá otra función armónica cuando se multiplique por una constante, se gire y/o se le agregue una constante. La inversión de cada función producirá otra función armónica que tiene singularidades que son las imágenes de las singularidades originales en un "espejo" esférico. Además, la suma de dos funciones armónicas cualquiera dará como resultado otra función armónica.
El conjunto de funciones armónicas en un conjunto abierto U dado puede verse como el núcleo del operador de Laplace Δ y, por lo tanto, es un espacio vectorial sobre R : las combinaciones lineales de funciones armónicas son nuevamente armónicas.
