En matemáticas , el problema inverso para la mecánica de Lagrange es el problema de determinar si un sistema dado de ecuaciones diferenciales ordinarias puede surgir como las ecuaciones de Euler-Lagrange para alguna función de Lagrange .
Ha habido una gran actividad en el estudio de este problema desde principios del siglo XX. Un avance notable en este campo fue un trabajo de 1941 del matemático norteamericano Jesse Douglas , en el que proporcionaba las condiciones necesarias y suficientes para que el problema tuviera solución; estas condiciones ahora se conocen como condiciones de Helmholtz , en honor al físico alemán Hermann von Helmholtz .
Antecedentes y planteamiento del problema
La configuración habitual de la mecánica de Lagrange en el espacio euclidiano n - dimensional R n es la siguiente. Considere una ruta diferenciable u : [0, T ] → R n . La acción de la trayectoria u , denotada S ( u ), está dada por
donde L es una función del tiempo, la posición y la velocidad conocida como lagrangiana . El principio de mínima acción establece que, dado un estado inicial x 0 y un estado final x 1 en R n , la trayectoria que seguirá realmente el sistema determinado por L debe ser minimizadora de la acción funcional S que satisfaga las condiciones de contorno u ( 0) = x 0 , u (T) = x 1 . Además, los puntos críticos (y por lo tanto los minimizadores) de S deben satisfacer las ecuaciones de Euler-Lagrange para S :
donde los índices superiores i denotan las componentes de u = ( u 1 , ..., u n ).
En el caso clásico
las ecuaciones de Euler-Lagrange son las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden más conocidas como leyes del movimiento de Newton :
El problema inverso de la mecánica lagrangiana es el siguiente: dado un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
que se cumple para los tiempos 0 ≤ t ≤ T , ¿existe una L lagrangiana : [0, T ] × R n × R n → R para la cual estas ecuaciones diferenciales ordinarias (E) son las ecuaciones de Euler-Lagrange? En general, este problema no se plantea en el espacio euclidiano R n , sino en una variedad n- dimensional M , y el lagrangiano es una función L : [0, T ] × T M → R , donde T M denota el paquete tangente de M .
El teorema de Douglas y las condiciones de Helmholtz
Para simplificar la notación, deje
y definir una colección de n 2 funciones Φ j i por
Teorema. (Douglas 1941) Existe un Lagrangiano L : [0, T ] × T M → R tal que las ecuaciones (E) son sus ecuaciones de Euler-Lagrange si y solo si existe una matriz simétrica no singular g con entradas g ij dependiendo de que tanto u como v cumplan las siguientes tres condiciones de Helmholtz :
(La convención de suma de Einstein se utiliza para los índices repetidos).
Aplicando el teorema de Douglas
A primera vista, resolver las ecuaciones de Helmholtz (H1) - (H3) parece ser una tarea extremadamente difícil. La condición (H1) es la más fácil de resolver: siempre es posible encontrar una g que satisfaga (H1), y por sí sola no implica que el lagrangiano sea singular. La ecuación (H2) es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias: los teoremas habituales sobre la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias implican que, en principio , es posible resolver (H2). La integración no produce constantes adicionales, sino primeras integrales del sistema (E), por lo que este paso se vuelve difícil en la práctica a menos que (E) tenga suficientes primeras integrales explícitas. En ciertos casos de buen comportamiento (por ejemplo, el flujo geodésico para la conexión canónica en un grupo de Lie ), esta condición se cumple.
El paso final y más difícil es resolver la ecuación (H3), llamada condiciones de cierre, ya que (H3) es la condición de que la forma diferencial 1 g i sea una forma cerrada para cada i . La razón por la que esto es tan abrumador es que (H3) constituye un gran sistema de ecuaciones diferenciales parciales acopladas: para n grados de libertad, (H3) constituye un sistema de
ecuaciones diferenciales parciales en las 2 n variables independientes que son las componentes g ij de g , donde
denota el coeficiente binomial . Para construir el lagrangiano más general posible, ¡hay que resolver este enorme sistema!
Afortunadamente, existen algunas condiciones auxiliares que se pueden imponer para ayudar a resolver las condiciones de Helmholtz. Primero, (H1) es una condición puramente algebraica en la matriz desconocida g . Las condiciones algebraicas auxiliares en g se pueden dar de la siguiente manera: definir funciones
- Ψ jk i
por
La condición auxiliar en g es entonces
De hecho, las ecuaciones (H2) y (A) son solo las primeras en una jerarquía infinita de condiciones algebraicas similares. En el caso de una conexión en paralelo (como la conexión canónica en un grupo de Lie), las condiciones de orden superior siempre se satisfacen, por lo que solo (H2) y (A) son de interés. Tenga en cuenta que (A) comprende
condiciones mientras que (H1) comprende
condiciones. Por tanto, es posible que (H1) y (A) juntos impliquen que la función lagrangiana es singular. A partir de 2006, no existe un teorema general para sortear esta dificultad en dimensión arbitraria, aunque se han resuelto algunos casos especiales.
Una segunda vía de ataque es ver si el sistema (E) admite una inmersión en un sistema de dimensiones inferiores y tratar de "elevar" un Lagrangiano para el sistema de dimensiones inferiores hasta el de dimensiones superiores. Esto no es realmente un intento de resolver las condiciones de Helmholtz, sino un intento de construir un Lagrangiano y luego mostrar que sus ecuaciones de Euler-Lagrange son de hecho el sistema (E).
Referencias
- Douglas, Jesse (1941). "Solución del problema inverso en el cálculo de variaciones" . Transacciones de la American Mathematical Society . 50 (1): 71-128. doi : 10.2307 / 1989912 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1989912 .
- Rawashdeh, M. y Thompson, G. (2006). "El problema inverso para las álgebras de Lie nilradicales de codimensión dos de seis dimensiones". Revista de Física Matemática . 47 (11): 112901. doi : 10.1063 / 1.2378620 . ISSN 0022-2488 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )