Un heptomino (o 7-omino ) es un poliomino de orden 7, es decir, un polígono en el plano formado por 7 cuadrados de igual tamaño conectados de borde a borde. [1] El nombre de este tipo de figura se forma con el prefijo hept (a) - . Cuando las rotaciones y reflexiones no se consideran formas distintas, hay 108 heptominós libres diferentes . Cuando las reflexiones se consideran distintas, hay 196 heptominós unilaterales . Cuando las rotaciones también se consideran distintas, hay 760 fijosheptominós. [2] [3]
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Heptominoes.svg/350px-Heptominoes.svg.png)
Simetría
La figura muestra todos los posibles heptominós libres, coloreados según sus grupos de simetría :
- 84 heptominós (de color gris) no tienen simetría . Su grupo de simetría consiste solo en el mapeo de identidad .
- 9 heptominós (de color rojo) tienen un eje de simetría de reflexión alineado con las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene dos elementos, la identidad y el reflejo en una línea paralela a los lados de los cuadrados.
- 7 heptominós (de color verde) tienen un eje de simetría de reflexión a 45 ° de las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene dos elementos, la identidad y un reflejo diagonal.
- 4 heptominós (de color azul) tienen simetría puntual, también conocida como simetría rotacional de orden 2. Su grupo de simetría tiene dos elementos, la identidad y la rotación de 180 °.
- 3 heptominós (de color púrpura) tienen dos ejes de simetría de reflexión, ambos alineados con las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene cuatro elementos, la identidad, dos reflejos y la rotación de 180 °. Es el grupo diedro de orden 2, también conocido como el grupo de cuatro Klein .
- 1 heptomino (de color naranja) tiene dos ejes de simetría de reflexión, ambos alineados con las diagonales. Su grupo de simetría también tiene cuatro elementos. Su grupo de simetría es también el grupo diedro de orden 2 con cuatro elementos.
Si los reflejos de un heptominós se consideran distintos, como lo son con los heptominós unilaterales, entonces la primera y cuarta categorías anteriores duplicarían su tamaño, lo que daría como resultado 88 heptominós adicionales para un total de 196. Si las rotaciones también se consideran distintas, luego, los heptominós de la primera categoría cuentan ocho veces, los de las tres categorías siguientes cuentan cuatro veces y los de las dos últimas categorías cuentan dos veces. Esto da como resultado 84 × 8 + (9 + 7 + 4) × 4 + (3 + 1) × 2 = 760 heptominós fijos.
Embalaje y alicatado
De los 108 heptominós libres, 101 satisfacen el criterio de Conway y 3 más pueden formar un parche que satisfaga el criterio. Por lo tanto, solo 4 heptominós no cumplen el criterio y, de hecho, estos 4 son incapaces de teselar el plano. [4]
- Los cuatro heptominós incapaces de embaldosar un avión, incluido el heptomino con un agujero
Aunque un conjunto completo de los 108 heptominós libres tiene un total de 756 cuadrados, no es posible enlosar un rectángulo con ese conjunto. La prueba de esto es trivial, ya que hay un heptomino que tiene un agujero. [5] También es imposible empaquetarlos en un rectángulo de 757 cuadrados con un agujero de un cuadrado porque 757 es un número primo.
Sin embargo, el conjunto de 107 heptominós libres simplemente conectados , es decir, los que no tienen el agujero, puede enlosar un rectángulo de 7 por 107 (749 cuadrados). [6] Además, el conjunto completo de heptominós libres puede enlosar tres rectángulos de 11 por 23 (253 cuadrados), cada uno con un agujero de un cuadrado en el centro; el conjunto completo también puede colocar doce cuadrados de 8 por 8 (64 cuadrados) con un agujero de un cuadrado en el "centro". [7]
Referencias
- ^ Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (2ª ed.). Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-02444-8.
- ^ Weisstein, Eric W. "Heptomino" . De MathWorld - Un recurso web de Wolfram . Consultado el 22 de julio de 2008 .
- ^ Redelmeier, D. Hugh (1981). "Contando poliominós: otro ataque". Matemáticas discretas . 36 (2): 191-203. doi : 10.1016 / 0012-365X (81) 90237-5 .
- ^ Rhoads, Glenn C. (2005). "Azulejos planos por polyominoes, polyhexes y polyiamonds" . Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 174 (2): 329–353. doi : 10.1016 / j.cam.2004.05.002 .
- ^ Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Azulejos y Patrones . Nueva York: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.
- ^ "Polominós: ¡aún más heptominós!"
- ^ Imagen, "Una solución de heptomino increíble de Patrick Hamlyn" , del material agregado de febrero a agosto de 2001 en MathPuzzzle.com