espacio normal

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio normal es un espacio topológico X que satisface el Axioma T ₄ : cada dos conjuntos cerrados disjuntos de X tienen vecindades abiertas disjuntas . Un espacio de Hausdorff normal también se llama espacio T ₄ . Estas condiciones son ejemplos de axiomas de separación y sus refuerzos posteriores definen espacios de Hausdorff completamente normales , o espacios T ₅ , y espacios de Hausdorff perfectamente normales, o T ₆ espacios .

Un espacio topológico X es un espacio normal si, dados conjuntos cerrados disjuntos E y F , existen vecindades U de E y V de F que también son disjuntas. Más intuitivamente, esta condición dice que E y F pueden estar separados por vecindades .

Un espacio completamente normal o unel espacio hereditariamente normal es un espacio topológicoXtal que todosubespaciodeXcon topología de subespacio es un espacio normal. Resulta queXes completamente normal si y solo si cada dosconjuntos separadospueden estar separados por vecindades. Además,Xes completamente normal si y solo si todo subconjunto abierto deXes normal con la topología del subespacio.

Un espacio completamente T ₄ , o espacio T ₅ es un espacio topológico X completamente normal en un espacio T ₁ , lo que implica que X es Hausdorff ; de manera equivalente, cada subespacio de X debe ser un espacio T ₄ .

Un espacio perfectamente normal es un espacio topológico en el que cada dos conjuntos cerrados disjuntos y pueden ser separados con precisión por una función , en el sentido de que existe una función continua de al intervalo tal que y . ^[1] (Esta es una propiedad de separación más fuerte que la normalidad, ya que según el lema de Urysohn, los conjuntos cerrados disjuntos en un espacio normal pueden separarse mediante una función , en el sentido de y , pero no separados con precisión en general). Resulta que X es perfectamente normal si y solo si X${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización E}$${\ estilo de visualización F}$${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización [0,1]}$${\ estilo de visualización f ^ {-1} (0) = E}$${\ estilo de visualización f ^ {-1} (1) = F}$${\displaystyle E\subseteq f^{-1}(0)}$${\displaystyle F\subseteq f^{-1}(1)}$es normal y todo conjunto cerrado es un conjunto G _δ . De manera equivalente, X es perfectamente normal si y solo si todo conjunto cerrado es un conjunto cero . La equivalencia entre estas tres caracterizaciones se denomina teorema de Vedenissoff. ^{[2] [3]} Todo espacio perfectamente normal es completamente normal, porque la perfecta normalidad es una propiedad hereditaria . ^{[4] [5]}

Tenga en cuenta que los términos "espacio normal" y "T ₄ " y los conceptos derivados ocasionalmente tienen un significado diferente. (Sin embargo, "T ₅ " siempre significa lo mismo que "completamente T ₄ ", sea lo que sea.) Las definiciones que se dan aquí son las que se usan habitualmente en la actualidad. Para más información sobre este tema, consulte Historia de los axiomas de separación .

Los conjuntos cerrados E y F , aquí representados por discos cerrados en lados opuestos de la imagen, están separados por sus respectivas vecindades U y V , aquí representadas por discos abiertos más grandes, pero aún disjuntos.