En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un subespacio de un espacio topológico X es un subconjunto S de X que está equipado con una topología inducida de la de X llamada topología subespacial (o la topología relativa , o la topología inducida , o la traza topología ).
Definición
Dado un espacio topológico y un subconjunto de , la topología del subespacio en es definido por
Es decir, un subconjunto de está abierto en la topología del subespacio si y sólo si es la intersección decon un set abierto en. Siestá equipado con la topología del subespacio, entonces es un espacio topológico por derecho propio, y se llama un subespacio de. Por lo general, se supone que los subconjuntos de espacios topológicos están equipados con la topología subespacial, a menos que se indique lo contrario.
Alternativamente, podemos definir la topología del subespacio para un subconjunto de como la topología más burda para la que el mapa de inclusión
es continuo .
De manera más general, suponga es una inyección de un conjunto a un espacio topológico . Luego, la topología del subespacio en se define como la topología más burda para la que es continuo. Los conjuntos abiertos en esta topología son precisamente los de la forma por abrir en . es entonces homeomorfo a su imagen en (también con la topología del subespacio) y se llama incrustación topológica .
Un subespacio se llama subespacio abierto si la inyecciónes un mapa abierto , es decir, si la imagen hacia adelante de un conjunto abierto de está abierto en . Asimismo, se denomina subespacio cerrado si la inyecciónes un mapa cerrado .
Terminología
La distinción entre un conjunto y un espacio topológico a menudo se difumina en notaciones, por conveniencia, lo que puede ser una fuente de confusión cuando uno se encuentra por primera vez con estas definiciones. Por lo tanto, siempre que es un subconjunto de , y es un espacio topológico, luego los símbolos sin adornos "" y ""a menudo se puede utilizar para referirse tanto a y considerados como dos subconjuntos de , y también a y como los espacios topológicos, relacionados como se discutió anteriormente. Entonces frases como " un subespacio abierto de "se utilizan para significar que es un subespacio abierto de , en el sentido que se utiliza a continuación, es decir: (i) ; y (ii) se considera que está dotado de la topología subespacial.
Ejemplos de
En el siguiente, representa los números reales con su topología habitual.
- La topología subespacial de los números naturales , como un subespacio de, es la topología discreta .
- Los números racionales considerado como un subespacio de no tienen la topología discreta ({0} por ejemplo, no es un conjunto abierto en ). Si un y b son racionales, entonces los intervalos ( un , b ) y [ un , b ] son, respectivamente, abierta y cerrada, pero si un y b son irracionales, entonces el conjunto de todo racional x con un < x < b es a la vez abierto y cerrado.
- El conjunto [0,1] como subespacio de es tanto abierto como cerrado, mientras que como subconjunto de solo está cerrado.
- Como un subespacio de , [0, 1] ∪ [2, 3] se compone de dos subconjuntos abiertos disjuntos (que resultan también cerrados) y, por lo tanto, es un espacio desconectado .
- Sea S = [0, 1) un subespacio de la línea real. Entonces [0, 1 ⁄ 2 ) está abierto en S pero no en. Igualmente [ 1 ⁄ 2 , 1) está cerrado en S pero no en. S es tanto abierto como cerrado como un subconjunto de sí mismo, pero no como un subconjunto de.
Propiedades
La topología del subespacio tiene la siguiente propiedad característica. Dejar ser un subespacio de y deja ser el mapa de inclusión. Entonces para cualquier espacio topológico un mapa es continuo si y solo si el mapa compuesto es continuo.
Esta propiedad es característica en el sentido de que se puede utilizar para definir la topología del subespacio en .
Enumeramos algunas propiedades adicionales de la topología del subespacio. En el siguiente vamos ser un subespacio de .
- Si es continua la restricción a es continuo.
- Si es continuo entonces es continuo.
- El cerrado se pone en son precisamente las intersecciones de con conjuntos cerrados en .
- Si es un subespacio de luego es también un subespacio de con la misma topología. En otras palabras, la topología subespacial que hereda de es el mismo que hereda de .
- Suponer es un subespacio abierto de (entonces ). Entonces un subconjunto de está abierto en si y solo si está abierto en .
- Suponer es un subespacio cerrado de (entonces ). Entonces un subconjunto de está cerrado en si y solo si está cerrado en .
- Si es una base para luego es una base para .
- La topología inducida en un subconjunto de un espacio métrico al restringir la métrica a este subconjunto coincide con la topología del subespacio para este subconjunto.
Preservación de propiedades topológicas.
Si un espacio topológico que tiene alguna propiedad topológica implica que sus subespacios tienen esa propiedad, entonces decimos que la propiedad es hereditaria . Si sólo los subespacios cerrados deben compartir la propiedad, la llamamos débilmente hereditaria .
- Cada subespacio cerrado abierto y cada una completamente metrizable espacio es completamente metrizable.
- Cada subespacio abierto de un espacio de Baire es un espacio de Baire.
- Cada subespacio cerrado de un espacio compacto es compacto.
- Ser un espacio de Hausdorff es hereditario.
- Ser un espacio normal es débilmente hereditario.
- La delimitación total es hereditaria.
- Estar totalmente desconectado es hereditario.
- La primera contabilidad y la segunda contabilización son hereditarias.
Ver también
Referencias
- Bourbaki, Nicolas, Elementos de las matemáticas: topología general , Addison-Wesley (1966)
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
- Willard, Stephen. Topología general , publicaciones de Dover (2004) ISBN 0-486-43479-6