En el campo matemático de la topología , un conjunto G δ es un subconjunto de un espacio topológico que es una intersección contable de conjuntos abiertos . La notación se originó en alemán con G para Gebiet ( alemán : área o vecindario) que significa conjunto abierto en este caso y δ para Durchschnitt ( alemán : intersección). También se utiliza el término conjunto límite interior . Conjuntos G δ , y sus conjuntos F σ duales, son el segundo nivel de la jerarquía Borel .
Definición
En un espacio topológico, un conjunto G δ es una intersección contable de conjuntos abiertos . Los conjuntos G δ son exactamente el nivel Π0
2conjuntos de la jerarquía de Borel .
Ejemplos de
- Cualquier conjunto abierto es trivialmente un conjunto G δ .
- Los números irracionales son un G δ conjunto en los números reales R . Pueden escribirse como la intersección contable de los conjuntos abiertos { q } c donde q es racional .
- El conjunto de los números racionales Q es no un G δ conjunto en R . Si Q fuera la intersección de conjuntos abiertos Un n , cada una n sería denso en R porque Q es denso en R . Sin embargo, la construcción anterior dio los números irracionales como una intersección contable de subconjuntos densos abiertos. Al tomar la intersección de ambos conjuntos se obtiene el conjunto vacío como una intersección contable de conjuntos densos abiertos en R , una violación del teorema de la categoría de Baire .
- El conjunto de continuidad de cualquier función con valor real es un subconjunto G δ de su dominio (consulte las propiedades de la sección para obtener una declaración más general y completa).
- El conjunto cero de una derivada de una función de valor real diferenciable en todas partes en R es un conjunto G δ ; puede ser un conjunto denso con interior vacío, como muestra la construcción de Pompeiu .
Un ejemplo más elaborado de un conjunto G δ viene dado por el siguiente teorema:
Teorema: el conjuntocontiene un subconjunto denso G δ del espacio métrico. (Ver función de Weierstrass § Densidad de funciones no diferenciables en ninguna parte ).
Propiedades
La noción de conjuntos G δ en espacios métricos (y topológicos ) está relacionada con la noción de completitud del espacio métrico, así como con el teorema de la categoría de Baire . Vea el resultado sobre espacios completamente metrizables en la lista de propiedades a continuación.
Los conjuntos y sus complementos también son importantes en el análisis real , especialmente en la teoría de la medida .
Propiedades básicas
- El complemento de un conjunto G δ es un conjunto F σ y viceversa.
- La intersección de innumerables conjuntos G δ es un conjunto G δ .
- La unión de un número finito de conjuntos G δ es un conjunto G δ .
- Una unión contable de conjuntos G δ (que se llamaría un conjunto G δσ ) no es un conjunto G δ en general. Por ejemplo, los números racionales Q no forman un G δ conjunto en R .
- En un espacio topológico, el conjunto cero de cada función continua con valor reales un conjunto G δ , ya que es la intersección de los conjuntos abiertos , .
- En un espacio metrizable , todo conjunto cerrado es un conjunto G δ y, doblemente, todo conjunto abierto es un conjunto F σ . [1] De hecho, un conjunto cerrado es el conjunto cero de la función continua , dónde indica la distancia de un punto a un conjunto . Lo mismo ocurre en espacios pseudometrizables .
- En una primera contable T 1 espacio , cada singleton es un G δ conjunto. [2]
- Un subespacio A de un completamente metrizable espacio X es en sí misma completamente metrizable si y sólo si A es un G δ conjunto en X . [3] [4]
Los siguientes resultados se refieren a los espacios polacos : [5]
- Dejar ser un espacio polaco. Entonces un subconjuntocon la topología subespacial es polaco si y solo si es un G δ establecido en.
- Un espacio topológico es polaco si y solo si es homeomórfico a un subconjunto G δ de un espacio métrico compacto .
Conjunto de continuidad de funciones con valor real
Una propiedad de conjuntos es que son los conjuntos posibles en los que una función de un espacio topológico a un espacio métrico es continua . Formalmente: el conjunto de puntos donde dicha función es continuo es un colocar. Esto se debe a que la continuidad en un punto puede ser definido por un fórmula, a saber: Para todos los enteros positivos , hay un set abierto conteniendo tal que para todos en . Si un valor de es fijo, el conjunto de para lo cual existe tal apertura correspondiente es en sí mismo un conjunto abierto (siendo una unión de conjuntos abiertos), y el cuantificador universal encorresponde a la intersección (contable) de estos conjuntos. En la línea real, lo contrario también es válido; para cualquier G δ subconjunto A de la línea real, hay una función f : R → R que es continua exactamente en los puntos en A . Como consecuencia, si bien es posible que los irracionales sean el conjunto de puntos de continuidad de una función (ver la función de palomitas de maíz ), es imposible construir una función que sea continua solo en los números racionales.
Espacio G δ
Un espacio G δ [6] es un espacio topológico en el que todo conjunto cerrado es un conjunto G δ ( Johnson 1970 ). Un espacio normal que también es un espacio G δ se llama perfectamente normal . Por ejemplo, todo espacio metrizable es perfectamente normal.
Ver también
- F σ conjunto , el concepto dual ; tenga en cuenta que "G" es alemán ( Gebiet ) y "F" es francés ( fermé ).
- P -espacio , cualquier espacio que tenga la propiedad de que todoconjuntoG δ está abierto
Notas
- ^ Willard, 15C, pág. 105
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/1882733
- ^ Willard, teorema 24.12, p. 179
- ^ Engelking, teoremas 4.3.23 y 4.3.24 en la p. 274. De las notas históricas de la p. 276, la implicación directa fue demostrada en un caso especial por S. Mazurkiewicz y en el caso general por M. Lavrentieff; la implicación inversa fue mostrada en un caso especial por P. Alexandroff y en el caso general por F. Hausdorff.
- ^ Fremlin, pág. 334
- ^ Steen y Seebach, p. 162
Referencias
- Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
- Kelley, John L. (1955). Topología general . van Nostrand . pag. 134 .
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. Señor 0507446 .
- Fremlin, DH (2003) [2003]. "4, Topología general". Teoría de la medida, volumen 4 . San Petersburgo, Inglaterra: Logística de libros digitales. ISBN 0-9538129-4-4. Archivado desde el original el 1 de noviembre de 2010 . Consultado el 1 de abril de 2011 .
- Willard, Stephen (2004) [1970], Topología general ( reimpresión de Dover de 1970 ed.), Addison-Wesley
- Johnson, Roy A. (1970). "Un espacio compacto no metrizable tal que cada subconjunto cerrado es un G-Delta". The American Mathematical Monthly . 77 (2): 172-176. doi : 10.2307 / 2317335 . JSTOR 2317335 .