Empaquetado cerrado de esferas iguales
En geometría , el empaquetamiento compacto de esferas iguales es una disposición densa de esferas congruentes en una disposición (o celosía ) regular e infinita . Carl Friedrich Gauss demostró que la densidad promedio más alta, es decir, la mayor fracción de espacio ocupado por esferas, que se puede lograr mediante un empaquetamiento de celosía es
La misma densidad de empaquetamiento también se puede lograr mediante apilamientos alternos de los mismos planos de esferas empaquetados, incluidas estructuras que son aperiódicas en la dirección de apilamiento. La conjetura de Kepler establece que esta es la densidad más alta que puede lograrse mediante cualquier disposición de esferas, ya sean regulares o irregulares. Esta conjetura fue probada por TC Hales . [1] [2] La densidad más alta se conoce solo en el caso de 1, 2, 3, 8 y 24 dimensiones. [3]
Muchas estructuras cristalinas se basan en un empaquetamiento compacto de un solo tipo de átomo, o un empaquetamiento compacto de iones grandes con iones más pequeños que llenan los espacios entre ellos. Las disposiciones cúbica y hexagonal están muy próximas en energía, y puede ser difícil predecir qué forma se preferirá a partir de los primeros principios.
Hay dos celosías regulares simples que logran esta densidad promedio más alta. Se llaman cara cúbica centrada ( FCC ) (también llamado cúbico cerca lleno ) y hexagonal de empaquetamiento compacto ( HCP ), en función de su simetría . Ambos se basan en láminas de esferas dispuestas en los vértices de un mosaico triangular; difieren en cómo se apilan las hojas unas sobre otras. Los matemáticos también conocen el enrejado de la FCC como el generado por el sistema de raíces A 3 . [4]
El problema del empaque de esferas fue analizado matemáticamente por primera vez por Thomas Harriot alrededor de 1587, después de que Sir Walter Raleigh le planteara una pregunta sobre cómo apilar balas de cañón en los barcos en su expedición a América. [5] Las balas de cañón generalmente se apilaban en un marco de madera rectangular o triangular, formando una pirámide de tres o cuatro lados. Ambos arreglos producen una celosía cúbica centrada en las caras, con diferente orientación al suelo. El empaquetamiento cerrado hexagonal daría como resultado una pirámide de seis lados con una base hexagonal.
El problema de la bala de cañón pregunta qué arreglos cuadrados planos de balas de cañón se pueden apilar en una pirámide cuadrada. Édouard Lucas formuló el problema como la ecuación diofántica o y conjeturó que las únicas soluciones son y . Aquí está el número de capas en la disposición de apilamiento piramidal y es el número de balas de cañón a lo largo de un borde en la disposición de cuadrado plano.
