Empaquetado cerrado de esferas iguales
En geometría , el empaquetamiento compacto de esferas iguales es una disposición densa de esferas congruentes en una disposición regular infinita (o red ). Carl Friedrich Gauss demostró que la densidad promedio más alta, es decir, la mayor fracción de espacio ocupado por esferas, que se puede lograr mediante un empaque de celosía es
La misma densidad de empaquetamiento también se puede lograr mediante apilamientos alternos de los mismos planos de esferas de empaquetamiento compacto, incluidas las estructuras que son aperiódicas en la dirección del apilamiento. La conjetura de Kepler establece que esta es la densidad más alta que puede lograr cualquier disposición de esferas, ya sea regular o irregular. Esta conjetura fue probada por TC Hales . [1] [2] La densidad más alta solo se conoce para 1, 2, 3, 8 y 24 dimensiones. [3]
Muchas estructuras cristalinas se basan en un empaque compacto de un solo tipo de átomo, o un empaque compacto de iones grandes con iones más pequeños que llenan los espacios entre ellos. Los arreglos cúbicos y hexagonales están muy cerca uno del otro en energía, y puede ser difícil predecir qué forma se preferirá a partir de los primeros principios.
Hay dos redes regulares simples que logran esta densidad promedio más alta. Se denominan cúbicos centrados en las caras ( FCC ) (también llamados compactos cúbicos ) y compactos hexagonales ( HCP ), en función de su simetría . Ambos se basan en láminas de esferas dispuestas en los vértices de un mosaico triangular; difieren en cómo se apilan las hojas unas sobre otras. La red FCC también es conocida por los matemáticos como la generada por el sistema raíz A3 . [4]
El problema del empaquetamiento compacto de esferas fue analizado matemáticamente por primera vez por Thomas Harriot alrededor de 1587, después de que Sir Walter Raleigh le hiciera una pregunta sobre cómo apilar balas de cañón en los barcos en su expedición a América. [5] Las balas de cañón generalmente se apilaban en un marco de madera rectangular o triangular, formando una pirámide de tres o cuatro lados. Ambos arreglos producen una red cúbica centrada en las caras, con diferente orientación al suelo. El empaquetado compacto hexagonal daría como resultado una pirámide de seis lados con una base hexagonal.
El problema de la bala de cañón pregunta qué arreglos cuadrados planos de balas de cañón se pueden apilar en una pirámide cuadrada. Édouard Lucas formuló el problema como la ecuación diofántica o y conjeturó que las únicas soluciones son y . Aquí está el número de capas en el arreglo de apilamiento piramidal y es el número de balas de cañón a lo largo de un borde en el arreglo cuadrado plano.
