El noveno problema de Hilbert , de la lista de 23 problemas de Hilbert (1900), pedía encontrar la ley de reciprocidad más general para los residuos normativos de k -ésimo orden en un campo numérico algebraico general , donde k es una potencia de un primo .
Progreso realizado
El problema fue resuelto parcialmente por Emil Artin (1924; 1927; 1930) al establecer la ley de reciprocidad de Artin que se ocupa de las extensiones abelianas de los campos numéricos algebraicos . Junto con el trabajo de Teiji Takagi y Helmut Hasse (quienes establecieron la ley de reciprocidad de Hasse más general), esto condujo al desarrollo de la teoría del campo de clases , realizando el programa de Hilbert de manera abstracta. Más tarde, Igor Shafarevich (1948; 1949; 1950) encontró ciertas fórmulas explícitas para residuos de normas .
La generalización no abeliana , también relacionada con el duodécimo problema de Hilbert , es uno de los desafíos de larga data en la teoría de números y está lejos de ser completa.
Ver también
Referencias
- Tate, John (1976). "Problema 9: La ley de reciprocidad general". En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos que surgen de los problemas de Hilbert . Actas de simposios en matemáticas puras . XXVIII.2. Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 311–322. ISBN 0-8218-1428-1.