Campo cerrado real

Non algebraically closed field whose extension by sqrt(–1) is algebraically closed

En matemáticas , un campo cerrado real es un campo F que tiene las mismas propiedades de primer orden que el campo de números reales . Algunos ejemplos son el campo de los números reales, el campo de los números algebraicos reales y el campo de los números hiperreales .

Definiciones

Un campo cerrado real es un campo F en el que se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. F es elementalmente equivalente a los números reales. En otras palabras, tiene las mismas propiedades de primer orden que los reales: cualquier oración en el lenguaje de campos de primer orden es verdadera en F si y solo si es verdadera en los reales.
2. Hay un orden total en F lo que es un cuerpo ordenado de tal manera que, en este orden, cada elemento positivo de F tiene una raíz cuadrada en F y cualquier polinomio de extraña grado con coeficientes en F tiene al menos una raíz en F .
3. F es un campo formalmente real tal que todo polinomio de grado impar con coeficientes en F tiene al menos una raíz en F , y para cada elemento a de F hay b en F tal que a  =  b ² o a  = - b ² .
4. F no es algebraicamente cerrado , pero su cierre algebraico es una extensión finita .
5. F no es algebraicamente cerrado pero la extensión del campo ${\displaystyle F({\sqrt {-1}})}$ está algebraicamente cerrado.
6. Hay un orden en F que no se extiende a una ordenación adecuada en cualquier extensión algebraica de F .
7. F es un campo formalmente real tal que ninguna extensión algebraica adecuada de F es formalmente real. (En otras palabras, el campo es máximo en un cierre algebraico con respecto a la propiedad de ser formalmente real).
8. Hay un orden en F que lo convierte en un campo ordenado de modo que, en este orden, el teorema del valor intermedio se cumple para todos los polinomios sobre F con grado ≥ 0.
9. F es un campo ordenado débilmente o mínimo . ^[1]

Si F es un campo ordenado, el teorema de Artin-Schreier establece que F tiene una extensión algebraica, llamada cierre real K de F , tal que K es un campo cerrado real cuyo orden es una extensión del orden dado en F , y es único hasta un isomorfismo único de campos idénticos en F ^[2] (tenga en cuenta que cada homomorfismo de anillo entre campos cerrados reales automáticamente preserva el orden , porque x  ≤  y si y solo si ∃ z  y  =  x  +  z² ). Por ejemplo, el cierre real del campo ordenado de números racionales es el campo${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$de números algebraicos reales . El teorema lleva el nombre de Emil Artin y Otto Schreier , quienes lo demostraron en 1926.

Si ( F , P ) es un campo ordenado, y E es una extensión de Galois de F , entonces por el Lema de Zorn hay una extensión de campo ordenada máxima ( M , Q ) con M un subcampo de E que contiene F y el orden en M se extiende P . Este M , junto con su pedido Q , se llama el cierre verdadera relación de ( F , P ) en E . Llamamos ( F , P) Verdadera relación cerrada a E si M solo es F . Cuando E es el cierre algebraico de F, el cierre real relativo de F en E es en realidad el cierre real de F descrito anteriormente. ^[3]

Si F es un campo (no se asume ningún orden compatible con las operaciones de campo, ni se asume que F es ordenable), entonces F todavía tiene un cierre real, que puede que ya no sea un campo, sino un anillo cerrado real . Por ejemplo, el cierre real del campo${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ es el anillo ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$ (las dos copias corresponden a los dos ordenamientos de ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$). Por otro lado, si${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ se considera como un subcampo ordenado de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, su verdadero cierre es nuevamente el campo ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$.

Decidibilidad y eliminación de cuantificadores

El lenguaje de los campos cerrados reales${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$incluye símbolos para las operaciones de suma y multiplicación, las constantes 0 y 1, y la relación de orden ≤ (así como la igualdad, si no se considera un símbolo lógico). En este lenguaje, la teoría (de primer orden) de los campos cerrados reales,${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$, consta de lo siguiente:

• los axiomas de campos ordenados ;
• el axioma que afirma que todo número positivo tiene raíz cuadrada;
• por cada número impar ${\displaystyle d}$, el axioma que afirma que todos los polinomios de grado ${\displaystyle d}$ tener al menos una raíz.

Todos los axiomas anteriores se pueden expresar en lógica de primer orden (es decir, rangos de cuantificación solo sobre elementos del campo).

Tarski demostró ( c.  1931 ) que${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$está completo , lo que significa que para cualquier${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$-sentencia, se puede probar que es verdadera o falsa a partir de los axiomas anteriores. Es más,${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$es decidible , lo que significa que existe un algoritmo para decidir la verdad o falsedad de dicha oración. ^{[ cita requerida ]}

El teorema de Tarski-Seidenberg extiende este resultado a la eliminación de cuantificadores decidibles . Es decir, existe un algoritmo que, dado cualquier${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$-formula, que puede contener variables libres, produce una fórmula sin cuantificador equivalente en las mismas variables libres, donde equivalente significa que las dos fórmulas son verdaderas para exactamente los mismos valores de las variables. El teorema de Tarski-Seidenberg es una extensión del teorema de decidibilidad, ya que se puede comprobar fácilmente si una fórmula sin cuantificadores sin variables libres es verdadera o falsa .

Este teorema se puede extender al siguiente teorema de proyección . Si R es un campo cerrado real, una fórmula con n variables libres define un subconjunto de R ⁿ , el conjunto de puntos que satisfacen la fórmula. Este subconjunto se denomina conjunto semialgebraico . Dado un subconjunto de k variables, la proyección de R ⁿ a R ^k es la función que asigna cada n -tupla a la k-tupla de los componentes correspondientes al subconjunto de variables. El teorema de la proyección afirma que una proyección de un conjunto semialgebraico es un conjunto semialgebraico, y que existe un algoritmo que, dada una fórmula libre de cuantificadores que define un conjunto semialgebraico, produce una fórmula libre de cuantificadores para su proyección.

De hecho, el teorema de la proyección es equivalente a la eliminación del cuantificador, ya que la proyección de un conjunto semialgebraico definido por la fórmula p ( x , y ) se define por

${\displaystyle (\exists x)P(x,y),}$

donde x y y representan, respectivamente, el conjunto de variables eliminados, y el conjunto de variables guardados.

La decidibilidad de una teoría de primer orden de los números reales depende dramáticamente de las operaciones y funciones primitivas que se consideren (en este caso, suma y multiplicación). Agregar otros símbolos de funciones, por ejemplo, el seno o la función exponencial , puede proporcionar teorías indecidibles; véase el teorema de Richardson y la Decidabilidad de las teorías de primer orden de los números reales .

Complejidad de decidir ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$

El algoritmo original de Tarski para la eliminación del cuantificador tiene una complejidad computacional no elemental , lo que significa que ninguna torre

${\displaystyle 2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{n}}}}}}$

puede limitar el tiempo de ejecución del algoritmo si n es el tamaño de la fórmula de entrada. La descomposición algebraica cilíndrica , introducida por George E. Collins , proporciona un algoritmo de complejidad mucho más practicable

${\displaystyle d^{2^{O(n)}}}$

donde n es el número total de variables (libres y ligadas), d es el producto de los grados de los polinomios que aparecen en la fórmula y O ( n ) es la notación O grande .

Davenport y Heintz (1988) demostraron que esta complejidad en el peor de los casos es casi óptima para la eliminación de cuantificadores al producir una familia Φ _n de fórmulas de longitud O ( n ) , con n cuantificadores, e involucrando polinomios de grado constante, de modo que cualquier cuantificador fórmula libre equivalente a Φ _n debe involucrar polinomios de grado${\displaystyle 2^{2^{\Omega (n)}}}$ y longitud ${\displaystyle 2^{2^{\Omega (n)}}}$, donde ${\displaystyle \Omega (n)}$es la gran notación Ω . Esto muestra que tanto la complejidad temporal como la complejidad espacial de la eliminación del cuantificador son intrínsecamente doble exponencial .

Para el problema de decisión, Ben-Or, Kozen y Reif (1986) afirmaron haber demostrado que la teoría de los campos cerrados reales es decidible en el espacio exponencial y, por lo tanto, en el doble tiempo exponencial, pero su argumento (en el caso de más de una variable) generalmente se considera defectuosa; ver Renegar (1992) para una discusión.

Para fórmulas puramente existenciales, es decir, para fórmulas de la forma

∃ x ₁ , ..., ∃ x _k P ₁ ( x ₁ , ..., x _k ) ⋈ 0 ∧ ... ∧ P _s ( x ₁ , ..., x _k ) ⋈ 0,

donde ⋈ significa <,> o  = , la complejidad es menor. Basu y Roy (1996) proporcionaron un algoritmo de buen comportamiento para decidir la verdad de tal fórmula existencial con la complejidad de s ^{k +1} d ^{O ( k )} operaciones aritméticas y espacio polinómico .

Propiedades del pedido

Una propiedad de crucial importancia de los números reales es que es un campo de Arquímedes , lo que significa que tiene la propiedad de Arquímedes de que para cualquier número real, hay un entero mayor que él en valor absoluto . Una afirmación equivalente es que para cualquier número real, hay enteros tanto mayores como menores. Tales campos cerrados reales que no son de Arquímedes, son campos ordenados que no son de Arquímedes . Por ejemplo, cualquier campo de números hiperrealistas es realmente cerrado y no arquimediano.

La propiedad de Arquímedes está relacionada con el concepto de cofinalidad . Un conjunto X contenido en un conjunto ordenado F es cofinal en F si para cada y en F hay una x en X tal que y < x . En otras palabras, X es una secuencia ilimitada en F . La cofinalidad de F es el tamaño del conjunto cofinal más pequeño, es decir, el tamaño de la cardinalidad más pequeña que da una secuencia ilimitada. Por ejemplo, los números naturales son cofinales en los reales y, por lo tanto, la cofinalidad de los reales es${\displaystyle \aleph _{0}}$.

Por lo tanto, tenemos los siguientes invariantes que definen la naturaleza de un campo cerrado real F :

• La cardinalidad de F .
• El cofinality de F .

A esto podemos agregar

• El peso de F , que es el tamaño mínimo de un subconjunto denso de F .

Estos tres números cardinales nos dicen mucho sobre las propiedades de orden de cualquier campo cerrado real, aunque puede ser difícil descubrir cuáles son, especialmente si no estamos dispuestos a invocar la hipótesis del continuo generalizado . También hay propiedades particulares que pueden o no tener:

• Un campo F es completa si no hay un campo ordenado K contiene adecuadamente F tal que F es denso en K . Si el cofinality de F es κ , esto es equivalente a decir secuencias de Cauchy indexados por κ son convergentes en F .
• Un campo ordenado F tiene la propiedad eta set η _α , para el número ordinal α , si para dos subconjuntos cualesquiera L y U de F de cardinalidad menor que${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$de tal manera que cada elemento de L es menor que cada elemento de U , hay un elemento x en F con x mayor que cada elemento de L y más pequeño que cada elemento de U . Esto está estrechamente relacionado con la propiedad teórica del modelo de ser un modelo saturado ; cualesquiera dos campos cerrados reales son η _α si y solo si son${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$-saturados, y además dos η _α campos cerrados reales ambos de cardinalidad${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ son orden isomorfos.

La hipótesis del continuo generalizado

Las características de los campos cerrados reales se vuelven mucho más simples si estamos dispuestos a asumir la hipótesis del continuo generalizado . Si se cumple la hipótesis del continuo, todos los campos cerrados reales con cardinalidad el continuo y que tienen la propiedad η ₁ son orden isomorfos. Este campo único Ϝ se puede definir mediante una ultrapotencia , como${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/{\mathbf {M} }}$, donde M es un ideal máximo que no conduce a un orden de campo: isomorfo a${\displaystyle \mathbb {R} }$. Este es el campo numérico hiperreal más utilizado en el análisis no estándar , y su singularidad es equivalente a la hipótesis del continuo. (Incluso sin la hipótesis del continuo, tenemos que si la cardinalidad del continuo es${\displaystyle \aleph _{\beta }}$entonces tenemos un campo η β único de tamaño η _β .)

Además, no necesitamos ultrapoderes para construir Ϝ , podemos hacerlo de manera mucho más constructiva como el subcampo de series con un número contable de términos del campo distintos de cero.${\displaystyle \mathbb {R} ((G))}$de series de potencias formales en un grupo divisible abeliano G totalmente ordenado que es un grupo η 1 de cardinalidad${\displaystyle \aleph _{1}}$( Alling 1962 ).

Ϝ sin embargo, no es un campo completo; si tomamos su finalización, terminamos con un campo Κ de cardinalidad mayor. Ϝ tiene la cardinalidad del continuo, que por hipótesis es${\displaystyle \aleph _{1}}$, Κ tiene cardinalidad${\displaystyle \aleph _{2}}$, y contiene Ϝ como un subcampo denso. No es una ultrapotencia, pero es un campo hiperreal y, por lo tanto, un campo adecuado para los usos del análisis no estándar. Puede verse que es el análogo dimensional superior de los números reales; con cardinalidad${\displaystyle \aleph _{2}}$ en lugar de ${\displaystyle \aleph _{1}}$, cofinalidad ${\displaystyle \aleph _{1}}$ en lugar de ${\displaystyle \aleph _{0}}$, y el peso ${\displaystyle \aleph _{1}}$ en lugar de ${\displaystyle \aleph _{0}}$, y con la propiedad η ₁ en lugar de la propiedad η ₀ (lo que simplemente significa que entre dos números reales cualesquiera podemos encontrar otro).

Ejemplos de campos cerrados reales

• los números algebraicos reales
• los números computables
• los números definibles
• los números reales
• números superrealistas
• números hiperrealistas
• la serie Puiseux con coeficientes reales
• los números surrealistas

Notas

1. D. Macpherson y col . al, (1998)
2. Rajwade (1993) págs. 222-223
3. Efrat (2006) p. 177

Referencias

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Enlaces externos

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• Servidor de preimpresión de teoría de modelos