El decimosexto problema de Hilbert fue planteado por David Hilbert en la conferencia de París del Congreso Internacional de Matemáticos en 1900, como parte de su lista de 23 problemas de matemáticas . [1]
El problema original se planteó como el Problema de la topología de curvas y superficies algebraicas ( Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen ).
En realidad, el problema consiste en dos problemas similares en diferentes ramas de las matemáticas:
- Una investigación de las posiciones relativas de las ramas de curvas algebraicas reales de grado n (y de manera similar para superficies algebraicas ).
- La determinación del límite superior para el número de ciclos límite en campos vectoriales polinomiales bidimensionales de grado ny una investigación de sus posiciones relativas.
El primer problema aún está sin resolver para n = 8. Por lo tanto, este problema es lo que generalmente se quiere decir cuando se habla del decimosexto problema de Hilbert en geometría algebraica real . El segundo problema también permanece sin resolver: no se conoce ningún límite superior para el número de ciclos límite para cualquier n > 1, y esto es lo que generalmente se entiende por el decimosexto problema de Hilbert en el campo de los sistemas dinámicos .
La Real Sociedad Española de Matemáticas publicó una explicación del decimosexto problema de Hilbert. [2]
La primera parte del problema número 16 de Hilbert
En 1876, Harnack investigó las curvas algebraicas en el plano proyectivo real y descubrió que las curvas de grado n no podían tener más de
componentes conectados separados . Además, mostró cómo construir curvas que alcanzaban ese límite superior y, por lo tanto, era el mejor límite posible. Curvas con ese número de componentes se denominan M-curvas .
Hilbert había investigado las curvas M de grado 6 y encontró que los 11 componentes siempre estaban agrupados de cierta manera. Su desafío para la comunidad matemática ahora era investigar completamente las posibles configuraciones de los componentes de las curvas M.
Además, solicitó una generalización del teorema de la curva de Harnack a superficies algebraicas y una investigación similar de superficies con el número máximo de componentes.
La segunda parte del decimosexto problema de Hilbert
Aquí vamos a considerar campos vectoriales polinomiales en el plano real , que es un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma:
donde tanto P como Q son polinomios reales de grado n .
Estos campos vectoriales polinomiales fueron estudiados por Poincaré , quien tuvo la idea de abandonar la búsqueda de soluciones exactas al sistema y, en cambio, intentó estudiar las características cualitativas de la colección de todas las soluciones posibles.
Entre muchos descubrimientos importantes, encontró que los conjuntos de límites de tales soluciones no necesitan ser un punto estacionario , sino que podrían ser una solución periódica. Estas soluciones se denominan ciclos límite .
La segunda parte del problema número 16 de Hilbert es decidir un límite superior para el número de ciclos límite en campos vectoriales polinomiales de grado n y, similar a la primera parte, investigar sus posiciones relativas.
Resultados
En 1991/1992, Yulii Ilyashenko y Jean Écalle demostraron que cada campo vectorial polinomial en el plano tiene solo un número finito de ciclos límite (un artículo de 1923 de Henri Dulac que afirmaba que una prueba de esta afirmación contenía una brecha en 1981). . Esta afirmación no es obvia, ya que es fácil construir campos vectoriales suaves (C ∞ ) en el plano con infinitos ciclos límite concéntricos. [3]
La cuestión de si existe un límite superior finito H ( n ) para el número de ciclos límite de campos vectoriales polinomiales planos de grado n permanece sin resolver para cualquier n > 1 ( H (1) = 0 ya que los campos vectoriales lineales no tienen límite ciclos.) Evgenii Landis e Ivan Petrovsky afirmaron una solución en la década de 1950, pero se demostró que estaba equivocada a principios de la década de 1960. Se conocen campos vectoriales planos cuadráticos con cuatro ciclos límite. [3] Un ejemplo de visualización numérica de cuatro ciclos límite en un campo vectorial plano cuadrático se puede encontrar en. [4] [5] En general, las dificultades para estimar el número de ciclos límite por integración numérica se deben al límite anidado ciclos con regiones de atracción muy estrechas, que son atractores ocultos , y ciclos límite semiestables.
La formulación original de los problemas
En su discurso, Hilbert presentó los problemas como: [6]
El límite superior de ramas cerradas y separadas de una curva algebraica de grado n fue decidido por Harnack (Mathematische Annalen, 10); de aquí surge la cuestión adicional de las posiciones relativas de las ramas en el plano. A partir de las curvas de grado 6, me he convencido, ciertamente de una manera bastante elaborada, de que las 11 ramas, que pueden tener según Harnack, nunca pueden estar todas separadas, sino que debe existir una rama, que tiene otra rama. corriendo en su interior y nueve ramales corriendo en su exterior, o en sentido opuesto. Me parece que una investigación exhaustiva de las posiciones relativas del límite superior para ramas separadas es de gran interés, y de manera similar, la investigación correspondiente del número, la forma y la posición de las hojas de una superficie algebraica en el espacio - aún no está disponible. incluso conocido, cuántas hojas puede tener como máximo una superficie de grado 4 en un espacio tridimensional. (cf. Rohn, Flächen vierter Ordnung, Preissschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886)
Hilbert continúa: [6]
Siguiendo este problema puramente algebraico me gustaría plantear una pregunta que, me parece, puede ser atacada por el mismo método de cambio continuo de coeficientes, y cuya respuesta es de similar importancia a la topología de las familias de curvas definidas por ecuaciones diferenciales. - esa es la cuestión del límite superior y la posición de los ciclos de límite de Poincaré (ciclos límites) para una ecuación diferencial de primer orden de la forma:
donde X , Y son enteros, funciones racionales de n º grado en resp. x , y , o escrito de forma homogénea:
donde X , Y , Z significa integrales racionales funciones,, Homogenic de n º grado en x , y , z y la última han de considerarse en función del parámetro t .
Referencias
- ^ David Hilbert (traducido por Mary Winton Newson). "Problemas matemáticos" .
- ^ "Sobre el problema 16 de Hilbert" .
- ^ a b Yu. Ilyashenko (2002). "Historia centenaria del problema 16 de Hilbert" (PDF) . Boletín de la AMS . 39 (3): 301–354. doi : 10.1090 / s0273-0979-02-00946-1 .
- ^ Kuznetsov NV; Kuznetsova OA; Leonov GA (2011). "Visualización de cuatro ciclos de límite de tamaño normal en sistema cuadrático polinomial bidimensional". Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos . 21 (1–2): 29–33. doi : 10.1007 / s12591-012-0118-6 .
- ^ Leonov GA; Kuznetsov NV (2013). "Atractores ocultos en sistemas dinámicos. Desde oscilaciones ocultas en problemas de Hilbert-Kolmogorov, Aizerman y Kalman hasta atractores caóticos ocultos en circuitos de Chua" . Revista Internacional de Bifurcación y Caos en Ciencias Aplicadas e Ingeniería . 23 (1): 1330002–219. Código bibliográfico : 2013IJBC ... 2330002L . doi : 10.1142 / S0218127413300024 .
- ^ a b David Hilbert (traducido por Maby Winton Newson). "Problemas matemáticos # 16" .
enlaces externos
- 16o problema de Hilbert: cálculo de cantidades de Lyapunov y ciclos límite en sistemas dinámicos bidimensionales