El vigésimo tercer problema de Hilbert es el último de los problemas de Hilbert que figura en una célebre lista compilada en 1900 por David Hilbert . En contraste con los otros 22 problemas de Hilbert, su 23 no es tanto un "problema" específico como un estímulo para un mayor desarrollo del cálculo de variaciones . Su planteamiento del problema es un resumen del estado del arte (en 1900) de la teoría del cálculo de variaciones, con algunos comentarios introductorios denunciando la falta de trabajo que se había hecho de la teoría a mediados o finales. Siglo 19.
Declaración original
El enunciado del problema comienza con el siguiente párrafo:
Hasta ahora, generalmente he mencionado problemas lo más definidos y especiales posible ... No obstante, me gustaría terminar con un problema general, a saber, con la indicación de una rama de las matemáticas mencionada repetidamente en esta conferencia, que, a pesar de el considerable avance que últimamente le ha dado Weierstrass, no recibe la apreciación general que, en mi opinión, se debe, me refiero al cálculo de variaciones. [1]
Cálculo de variaciones
El cálculo de variaciones es un campo de análisis matemático que se ocupa de maximizar o minimizar funcionales , que son mapeos de un conjunto de funciones a los números reales . Los funcionales a menudo se expresan como integrales definidas que involucran funciones y sus derivadas . El interés está en las funciones extremas que hacen que lo funcional alcance un valor máximo o mínimo - o funciones estacionarias - aquellas en las que la tasa de cambio de lo funcional es cero.
Progreso
Tras el planteamiento del problema, David Hilbert , Emmy Noether , Leonida Tonelli , Henri Lebesgue y Jacques Hadamard, entre otros, hicieron contribuciones significativas al cálculo de variaciones. [2] Marston Morse aplicó el cálculo de variaciones en lo que ahora se llama teoría Morse . [3] Lev Pontryagin , Ralph Rockafellar y FH Clarke desarrollaron nuevas herramientas matemáticas para el cálculo de variaciones en la teoría del control óptimo . [3] La programación dinámica de Richard Bellman es una alternativa al cálculo de variaciones. [4] [5] [6]
Referencias
- ^ Hilbert, David, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten , (1900), págs. 253-297, y en Archiv der Mathematik und Physik , (3) 1 (1901), 44-63 y 213-237. Publicado en traducción al inglés por la Dra. Maby Winton Newson, Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), 437-479 [1] [2] doi : 10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3 . [Un título más completo de la revista Göttinger Nachrichten es Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]
- ↑ van Brunt, Bruce (2004). El cálculo de variaciones . Saltador. ISBN 0-387-40247-0.
- ^ a b Ferguson, James (2004). "Breve reseña de la historia del cálculo de variaciones y sus aplicaciones". arXiv : matemáticas / 0402357 .
- ^ Dimitri P Bertsekas. Programación dinámica y control óptimo. Athena Scientific, 2005.
- ^ Bellman, Richard E. (1954). "Programación dinámica y un nuevo formalismo en el cálculo de variaciones" . Proc. Natl. Acad. Sci . 40 (4): 231-235. Código Bibliográfico : 1954PNAS ... 40..231B . doi : 10.1073 / pnas.40.4.231 . PMC 527981 . PMID 16589462 .
- ^ Kushner, Harold J. (2004). "Premio Richard E. Bellman Control Heritage" . Consejo Americano de Control Automático . Consultado el 28 de julio de 2013 .Ver 2004: Harold J. Kushner : con respecto a la programación dinámica, "El cálculo de variaciones tenía ideas relacionadas (por ejemplo, el trabajo de Caratheodory, la ecuación de Hamilton-Jacobi). Esto condujo a conflictos con la comunidad de cálculo de variaciones".
Otras lecturas
- Stampacchia, Guido (1976). "Vigésimo tercer problema de Hilbert: extensión del cálculo de variaciones". En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos que surgen de los problemas de Hilbert . Actas de simposios en matemáticas puras . XXVIII.2. Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 611–628. ISBN 0-8218-1428-1.