Nullstellensatz de Hilbert

Relación entre variedades algebraicas e ideales polinomiales

El Nullstellensatz de Hilbert (alemán para "teorema de ceros", o más literalmente, "teorema del locus cero", ver Satz ) es un teorema que establece una relación fundamental entre geometría y álgebra . Esta relación es la base de la geometría algebraica , una rama de las matemáticas . Relaciona conjuntos algebraicos con ideales en anillos polinomiales sobre campos algebraicamente cerrados . Esta relación fue descubierta por David Hilbert, quien demostró el Nullstellensatz y varios otros teoremas relacionados importantes que llevan su nombre (como el teorema de la base de Hilbert ).

Formulación

Sea k un campo (como los números racionales ) y K una extensión de campo algebraicamente cerrado (como los números complejos ). Consideremos el anillo de polinomios y dejar que ser un ideales en este anillo. El conjunto algebraico V ( I ) definido por este ideal consiste en todas las n tuplas x = ( x ₁ , ..., x _n ) en K ⁿ tales que f ( x ) = 0 para toda f en I${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$. El Nullstellensatz de Hilbert establece que si p es un polinomio que desaparece en el conjunto algebraico V ( I ), es decir, p ( x ) = 0 para todo x en V ( I ), entonces existe un número natural r tal que p ^r está en Yo . ^[1]${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$

Un corolario inmediato es el débil Nullstellensatz : el ideal contiene 1 si y solo si los polinomios en I no tienen ceros comunes en K ⁿ . También se puede formular como sigue: si I es un ideal propio en, entonces V ( I ) no puede estar vacío , es decir, existe un cero común para todos los polinomios del ideal en cada extensión algebraicamente cerrada de k . Esta es la razón del nombre del teorema, que se puede probar fácilmente desde la forma 'débil' usando el truco de Rabinowitsch.${\displaystyle I\subset k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}],}$. El supuesto de considerar ceros comunes en un campo algebraicamente cerrado es esencial aquí; por ejemplo, los elementos del ideal propio ( X ² + 1) en no tienen un cero común en${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Con la notación común en la geometría algebraica, el Nullstellensatz también se puede formular como

${\displaystyle {\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}}$

para todo ideal J . Aquí, denota el radical de J y I ( T ) es el ideal de todos los polinomios que se desvanecen en el conjunto U .${\displaystyle {\sqrt {J}}}$

De esta manera, obtenemos una correspondencia biyectiva de inversión de orden entre los conjuntos algebraicos en K ⁿ y los ideales radicales de De hecho, de manera más general, se tiene una conexión de Galois entre subconjuntos del espacio y subconjuntos del álgebra, donde " cierre de Zariski "y" radical del ideal generado "son los operadores de cierre .${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}].}$

Como ejemplo particular, considere un punto . Entonces . Más generalmente,${\displaystyle P=(a_{1},\dots ,a_{n})\in K^{n}}$${\displaystyle I(P)=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{(a_{1},\dots ,a_{n})\in V(I)}(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}).}$

Por el contrario, todo ideal máximo del anillo polinomial (tenga en cuenta que está algebraicamente cerrado) tiene la forma para algunos .${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$

Como otro ejemplo, un subconjunto algebraico W en K ⁿ es irreducible (en la topología de Zariski) si y solo si es un ideal primo.${\displaystyle I(W)}$

Prueba y generalización

Hay muchas pruebas conocidas del teorema. Una demostración usa el lema de Zariski , que afirma que si un campo se genera finitamente como un álgebra asociativa sobre un campo k , entonces es una extensión de campo finito de k (es decir, también se genera finitamente como un espacio vectorial ). Aquí hay un bosquejo de esta prueba. ^[2]

Sea ( k campo algebraicamente cerrado), I un ideal de A y V los ceros comunes de I en . Claramente, . Deja . A continuación, para algunos ideal primo de A . Deje y un ideal maximal en . Según el lema de Zariski, es una extensión finita de k ; por tanto, es k ya que k es algebraicamente cerrado. Sean las imágenes de debajo del mapa natural . Sigue eso y .${\displaystyle A=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$${\displaystyle k^{n}}$${\displaystyle {\sqrt {I}}\subseteq I(V)}$${\displaystyle f\not \in {\sqrt {I}}}$${\displaystyle f\not \in {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supseteq I}$${\displaystyle R=(A/{\mathfrak {p}})[f^{-1}]}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle A\to k}$${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in V}$${\displaystyle f(x)\neq 0}$

El Nullstellensatz también se sigue trivialmente de un desarrollo sistemático de los anillos de Jacobson , en los que un ideal radical es una intersección de ideales máximos. Sea un anillo de Jacobson. Si es un finitamente generado R -algebra , a continuación, es un anillo de Jacobson. Además, si es un ideal máximo, entonces es un ideal máximo de R, y es un campo de extensión finito de .${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}\subset S}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}:={\mathfrak {n}}\cap R}$${\displaystyle S/{\mathfrak {n}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$

Otra generalización establece que un morfismo fielmente plano de esquemas localmente de tipo finito con X cuasi-compacto tiene una cuasi-sección , es decir, existe afín y fielmente plano y cuasi-finito sobre X junto con un X- morfismo${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'\to Y}$

Nullstellensatz efectivo

En todas sus variantes, el Nullstellensatz de Hilbert afirma que algún polinomio g pertenece o no a un ideal generado, digamos, por f ₁ , ..., f _k ; tenemos g = f ^r en la versión fuerte, g = 1 en la forma débil. Esto significa la existencia o no existencia de polinomios g ₁ , ..., g _k tales que g = f ₁ g ₁ + ... + f _k g _k. Las demostraciones habituales del Nullstellensatz no son constructivas, no efectivas, en el sentido de que no dan ninguna forma de calcular la g _i .

Por tanto, es una pregunta bastante natural preguntarse si existe una forma eficaz de calcular g _i (y el exponente r en la forma fuerte) o de demostrar que no existen. Para resolver este problema, basta con proporcionar un límite superior al grado total de g _i : dicho límite reduce el problema a un sistema finito de ecuaciones lineales que puede resolverse mediante técnicas habituales de álgebra lineal . Cualquier límite superior de este tipo se denomina Nullstellensatz efectivo .

Un problema relacionado es el problema de pertenencia ideal , que consiste en probar si un polinomio pertenece a un ideal. También para este problema, se proporciona una solución mediante un límite superior en el grado de g _i . Una solución general del problema de la membresía ideal proporciona un Nullstellensatz efectivo, al menos para la forma débil.

En 1925, Grete Hermann dio un límite superior para el problema de pertenencia ideal que es doblemente exponencial en el número de variables. En 1982, Mayr y Meyer dieron un ejemplo donde g _i tiene un grado que es al menos doble exponencial, mostrando que cada límite superior general para el problema de pertenencia ideal es doblemente exponencial en el número de variables.

Dado que la mayoría de los matemáticos de la época asumieron que el Nullstellensatz efectivo era al menos tan difícil como la membresía ideal, pocos matemáticos buscaron un límite mejor que el doble exponencial. En 1987, sin embargo, W. Dale Brownawell dio un límite superior para el Nullstellensatz efectivo que es simplemente exponencial en el número de variables. ^[3] La prueba de Brownawell se basó en técnicas analíticas válidas sólo en la característica 0, pero, un año después, János Kollár dio una prueba puramente algebraica, válida en cualquier característica, de un límite ligeramente mejor.

En el caso del débil Nullstellensatz, el límite de Kollár es el siguiente: ^[4]

Sean f ₁ , ..., f _s polinomios en n ≥ 2 variables, de grado total d ₁ ≥ ... ≥ d _s . Si existen polinomios g _i tales que f ₁ g ₁ + ... + f _s g _s = 1 , entonces pueden elegirse de manera que

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq \max(d_{s},3)\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}\max(d_{j},3).}$

Este límite es óptimo si todos los grados son mayores que 2.

Si d es el máximo de los grados de f _i , este límite puede simplificarse a

${\displaystyle \max(3,d)^{\min(n,s)}.}$

El resultado de Kollár ha sido mejorado por varios autores. A 14 de octubre de 2012 ^[update], la mejor mejora debida a M. Sombra es ^[5]

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq 2d_{s}\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}d_{j}.}$

Su salto mejora el de Kollár tan pronto como al menos dos de los grados involucrados son inferiores a 3.

Nullstellensatz proyectivo

Podemos formular una cierta correspondencia entre ideales homogéneos de polinomios y subconjuntos algebraicos de un espacio proyectivo, llamado Nullstellensatz proyectivo , que es análogo al afín. Para hacer eso, introducimos algunas notaciones. Dejemos que el ideal homogéneo, ${\displaystyle R=k[t_{0},\ldots ,t_{n}].}$

${\displaystyle R_{+}=\bigoplus _{d\geqslant 1}R_{d}}$

se llama el ideal homogéneo máximo (ver también ideal irrelevante ). Como en el caso afín, dejamos: para un subconjunto y un ideal homogéneo I de R ,${\displaystyle S\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)&=\{f\in R_{+}\mid f=0{\text{ on }}S\},\\\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)&=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in I\}.\end{aligned}}}$

Con lo que queremos decir: por cada coordenadas homogéneas de un punto de S tenemos . Esto implica que las componentes homogéneas de f también son cero en S y, por tanto, es un ideal homogéneo. De manera equivalente, es el ideal homogénea generada por polinomios homogéneos f que se desvanecen en S . Ahora, para cualquier ideal homogéneo , por el habitual Nullstellensatz, tenemos:${\displaystyle f=0{\text{ on }}S}$${\displaystyle (a_{0}:\cdots :a_{n})}$${\displaystyle f(a_{0},\ldots ,a_{n})=0}$${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$${\displaystyle I\subseteq R_{+}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)),}$

y así, como en el caso afín, tenemos: ^[6]

Existe una correspondencia uno a uno que invierte el orden entre los ideales radicales homogéneos propios de R y subconjuntos de la forma La correspondencia está dada por y${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I).}$${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}}$${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}.}$

Analítica Nullstellensatz

El Nullstellensatz también es válido para los gérmenes de funciones holomorfas en un punto de complejo de n -espacio Precisamente, para cada subconjunto abierto permiten denotar el anillo de funciones holomorfas en U ; luego hay una gavilla en El tallo en, digamos, el origen puede demostrarse que es un anillo local noetheriano que es un dominio de factorización único .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$${\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n},}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$

Si es un germen representado por una función holomórfica , entonces sea ​​la clase de equivalencia del conjunto ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$${\displaystyle {\widetilde {f}}:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle V_{0}(f)}$

${\displaystyle \left\{z\in U|{\widetilde {f}}(z)=0\right\},}$

donde dos subconjuntos se consideran equivalentes si por alguna vecindad U de 0. Nota es independiente de la elección del representante Para cada ideales Let significan para algunos generadores de I . Está bien definido; es decir, es independiente de la elección de los generadores.${\displaystyle X,Y\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle X\cap U=Y\cap U}$${\displaystyle V_{0}(f)}$${\displaystyle {\widetilde {f}}.}$${\displaystyle I\subset {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0},}$${\displaystyle V_{0}(I)}$${\displaystyle V_{0}(f_{1})\cap \dots \cap V_{0}(f_{r})}$${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$

Para cada subconjunto , deje ${\displaystyle X\subset \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle I_{0}(X)=\left\{f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}|V_{0}(f)\supset X\right\}.}$

Es fácil ver que es un ideal de y que si en el sentido discutido anteriormente.${\displaystyle I_{0}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$${\displaystyle I_{0}(X)=I_{0}(Y)}$${\displaystyle X\sim Y}$

El analítico Nullstellensatz luego establece: ^[7] para cada ideal ,${\displaystyle I\subset {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=I_{0}(V_{0}(I))}$

en el que el lado izquierdo es el radical del yo .

Ver también

• Positivstellensatz de Stengle
• Diferencial Nullstellensatz
• Nullstellensatz combinatorio
• Lema de Artin-Tate
• Real radical
• Serie de potencias restringida # Tate álgebra , un análogo del Teorema de los ceros de Hilbert es válido para las álgebra Tate.

Notas

1. Zariski – Samuel , Cap. VII, teorema 14 harvnb error: no target: CITEREFZariski–Samuel (help)
2. Atiyah – MacDonald 1969 , cap. 7 harvnb error: no target: CITEREFAtiyah–MacDonald1969 (help)
3. Brownawell, W. Dale (1987), "Límites para los grados en el Nullstellensatz", Ann. de Matemáticas. , 126 (3): 577–591, doi : 10.2307 / 1971361 , MR  0916719
4. Kollár, János (1988), "Sharp Effective Nullstellensatz" (PDF) , Journal of the American Mathematical Society , 1 (4): 963–975, doi : 10.2307 / 1990996 , MR 0944576 , archivado desde el original (PDF) en 2014-03-03 , consultado el 2012-10-14  
5. Sombra, Martín (1999), "A Sparse Effective Nullstellensatz", Advances in Applied Mathematics , 22 (2): 271-295, arXiv : alg-geom / 9710003 , doi : 10.1006 / aama.1998.0633 , MR 1659402 
6. Esta formulación proviene de Milne, geometría algebraica [1] y difiere de Hartshorne 1977 , cap. Yo, ejercicio 2.4
7. Huybrechts , Proposición 1.1.29. harvnb error: no target: CITEREFHuybrechts (help)

Referencias

• JM Almira , Nullstellensatz revisitado , Rend. Sem. Estera. Univ. Pol. Torino - Vol. 65 (3) (2007) 365-369
• M. Atiyah , IG Macdonald , Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley , 1994. ISBN 0-201-40751-5 
• Shigeru Mukai (2003). Introducción a invariantes y módulos . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. 81 . William Oxbury (trad.). pag. 82. ISBN 0-521-80906-1.
• David Eisenbud , Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Nueva York: Springer-Verlag, 1999.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157
• Huybrechts, Daniel (2005). Geometría compleja: una introducción . Saltador. ISBN 3-540-21290-6.
• Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1960). Álgebra conmutativa. Volumen II . Berlina. ISBN 978-3-662-27753-9.