En teoría de números , un carácter de Hecke es una generalización de un carácter de Dirichlet , introducido por Erich Hecke para construir una clase de funciones L más grandes que las funciones L de Dirichlet , y un escenario natural para las funciones zeta de Dedekind y algunas otras que tienen características funcionales. ecuaciones análogas a la de la función zeta de Riemann .
Un nombre que a veces se usa para el carácter de Hecke es el término alemán Größencharakter (a menudo escrito Grössencharakter, Grossencharacter, etc.).
Un carácter Hecke es un carácter del grupo de clase idele de un campo numérico o un campo de función global . Corresponde únicamente a un carácter del grupo idele que es trivial en ideles principales , vía composición con el mapa de proyección.
Esta definición depende de la definición de un carácter, que varía ligeramente entre autores: puede definirse como un homomorfismo a los números complejos distintos de cero (también llamado "cuasicaracter"), o como un homomorfismo al círculo unitario en C ( "unitario"). Cualquier cuasicaracter (del grupo de la clase idele) puede escribirse únicamente como un carácter unitario multiplicado por una potencia real de la norma, por lo que no hay gran diferencia entre las dos definiciones.
El conductor de un carácter de Hecke χ es el mayor ideal m tal que χ es un carácter de Hecke mod m . Aquí decimos que χ es un carácter de Hecke mod m si χ (considerado como un carácter en el grupo idele) es trivial en el grupo de ideles finitos cuya componente v-ádica está en 1 + m O v .
La definición original de un personaje de Hecke, que se remonta a Hecke, era en términos de un personaje sobre ideales fraccionarios . Para un cuerpo numérico K , sea m = m f m ∞ un K - módulo , siendo m f , la "parte finita", un ideal integral de K y m ∞ , la "parte infinita", siendo un (formal) producto de lugares reales de K . Sea I m el grupo de ideales fraccionarios de K primos relativos a m fy sea P m el subgrupo de ideales fraccionarios principales ( a ) donde a está cerca de 1 en cada lugar de m de acuerdo con las multiplicidades de sus factores: para cada lugar finito v en m f , o v ( a − 1) es al menos tan grande como el exponente de v en m f , y a es positivo bajo cada empotramiento real en m ∞ . Un carácter de Hecke con módulo m es un homomorfismo de grupo de I men los números complejos distintos de cero tales que en ideales ( a ) en P m su valor es igual al valor en a de un homomorfismo continuo a los números complejos distintos de cero del producto de los grupos multiplicativos de todas las completaciones de Arquímedes de K donde cada componente local del homomorfismo tiene la misma parte real (en el exponente). (Aquí incrustamos a en el producto de las completaciones de Arquímedes de K usando incrustaciones correspondientes a los diversos lugares de Arquímedes en K .) Por lo tanto, un carácter de Hecke puede definirse en el grupo de clase de rayos módulo m , que es el cociente I m/ P m .