En matemáticas , en el campo de la teoría de números algebraica , un módulo (plural módulos ) (o ciclo , [1] o ideales extendida [2] ) es un producto formal de lugares de un campo global (es decir, un campo de número algebraico o una mundial campo de función ). Se utiliza para codificar datos de ramificación para extensiones abelianas de un campo global.
Definición
Deje que K sea un campo global con el anillo de los enteros R . Un módulo es un producto formal [3] [4]
donde p recorre todos los lugares de K , finito o infinito , los exponentes ν ( p ) son cero excepto para un número finito de p . Si K es un campo numérico, ν ( p ) = 0 o 1 para lugares reales y ν ( p ) = 0 para lugares complejos. Si K es un campo de función, ν ( p ) = 0 para todos los lugares infinitos.
En el caso del campo de función, un módulo es lo mismo que un divisor efectivo , [5] y en el caso del campo numérico, un módulo puede considerarse como una forma especial del divisor de Arakelov . [6]
La noción de congruencia se puede extender al establecimiento de módulos. Si un y b son elementos de K × , la definición de un ≡ * b (mod p ν ) depende de qué tipo de primordial p es: [7] [8]
- si es finito, entonces
- donde ord p es la valoración normalizada asociada ap ;
- si es un lugar real (de un campo numérico) y ν = 1, entonces
- bajo la incrustación real asociada a p .
- si es cualquier otro lugar infinito, no hay condición.
Entonces, dado un módulo m , a ≡ ∗ b (mod m ) si a ≡ ∗ b (mod p ν ( p ) ) para todo p tal que ν ( p )> 0.
Grupo de clase Ray
El módulo de rayo m es [9] [10] [11]
Un módulo m se puede dividir en dos partes, m f y m ∞ , el producto sobre los lugares finito e infinito, respectivamente. Let Me estoy para ser uno de los siguientes:
- si K es un campo de número, el subgrupo del grupo de los ideales fraccionarios generados por ideales primos entre sí a m f ; [12]
- si K es un campo de función de una curva algebraica sobre k , el grupo de divisores, racional sobre k , con apoyo alejado de m . [13]
En ambos casos, hay un homomorfismo de grupos i : K m , 1 → I estoy obtenido mediante el envío de una a la de ideales principales (resp. Divisor ) ( un ).
El grupo de clases de rayos módulo m es el cociente C m = I m / i ( K m , 1 ). [14] [15] Una clase lateral de i ( K m , 1 ) se llama una clase de rayo módulo m .
La definición original de Erich Hecke de los caracteres de Hecke puede interpretarse en términos de caracteres del grupo de clases de rayos con respecto a algún módulo m . [dieciséis]
Propiedades
Cuando K es un campo numérico, se mantienen las siguientes propiedades. [17]
- Cuando m = 1, el grupo de clase de rayo es simplemente el grupo de clase ideal .
- El grupo de clases de rayos es finito. Su orden es el número de clase de rayo .
- El número de clase ray es divisible por el número de clase de K .
Notas
- ^ Lang 1994 , §VI.1
- ^ Cohn 1985 , definición 7.2.1
- ↑ Janusz 1996 , §IV.1
- ↑ Serre 1988 , §III.1
- ↑ Serre 1988 , §III.1
- ↑ Neukirch 1999 , §III.1
- ↑ Janusz 1996 , §IV.1
- ↑ Serre 1988 , §III.1
- ^ Milne 2008 , §V.1
- ↑ Janusz 1996 , §IV.1
- ^ Serre 1988 , §VI.6
- ↑ Janusz 1996 , §IV.1
- ^ Serre 1988 , §V.1
- ↑ Janusz 1996 , §IV.1
- ^ Serre 1988 , §VI.6
- ^ Neukirch 1999 , §VII.6
- ↑ Janusz 1996 , §4.1
Referencias
- Cohn, Harvey (1985), Introducción a la construcción de campos de clase , Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas, 6 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-24762-7
- Janusz, Gerald J. (1996), Campos numéricos algebraicos , Estudios de posgrado en matemáticas , 7 , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0429-2
- Lang, Serge (1994), Teoría algebraica de números , Textos de posgrado en matemáticas , 110 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94225-4, MR 1282723
- Milne, James (2008), Class field theory (v4.0 ed.) , Consultado el 22 de febrero de 2010
- Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . Grundlehren der mathischen Wissenschaften . 322 . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Señor 1697859 . Zbl 0956.11021 .
- Serre, Jean-Pierre (1988), Grupos y campos de clase algebraicos , Textos de posgrado en matemáticas , 117 , Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96648-9