En matemáticas , se espera que las funciones L de la teoría de números tengan varias propiedades características, una de las cuales es que satisfacen ciertas ecuaciones funcionales . Existe una teoría elaborada de lo que deberían ser estas ecuaciones, muchas de las cuales aún son conjeturas.
Introducción
Un ejemplo prototípico, la función zeta de Riemann tiene una ecuación funcional que relaciona su valor en el número complejo s con su valor en 1 - s . En todos los casos, esto se relaciona con algún valor ζ ( s ) que solo se define mediante la continuación analítica de la definición de serie infinita . Es decir, escribiendo - como es convencional - σ para la parte real de s , la ecuación funcional relaciona los casos
- σ> 1 y σ <0,
y también cambia un caso con
- 0 <σ <1
en la franja crítica a otro caso similar, reflejado en la línea σ = ½. Por lo tanto, el uso de la ecuación funcional es básico para estudiar la función zeta en todo el plano complejo .
La ecuación funcional en cuestión para la función zeta de Riemann toma la forma simple
donde Z ( s ) es ζ ( s ) multiplicado por un factor gamma , que involucra la función gamma . Esto ahora se lee como un factor 'extra' en el producto de Euler para la función zeta, correspondiente al primo infinito . La misma forma de ecuación funcional es válida para la función zeta de Dedekind de un campo numérico K , con un factor gamma apropiado que depende solo de las incrustaciones de K (en términos algebraicos, del producto tensorial de K con el campo real ).
Existe una ecuación similar para las funciones L de Dirichlet , pero esta vez relacionándolas en pares: [1]
con χ un carácter de Dirichlet primitivo , χ * su conjugado complejo, Λ la función L multiplicada por un factor gamma, y ε un número complejo de valor absoluto 1, de forma
donde G (χ) es una suma de Gauss formada a partir de χ. Esta ecuación tiene la misma función en ambos lados si y solo si χ es un carácter real , tomando valores en {0,1, −1}. Entonces ε debe ser 1 o −1, y el caso del valor −1 implicaría un cero de Λ ( s ) en s = ½. De acuerdo con la teoría (de Gauss, en efecto) de las sumas de Gauss, el valor es siempre 1, por lo que no puede existir un cero tan simple (la función es par sobre el punto).
Teoría de ecuaciones funcionales
Erich Hecke dio una teoría unificada de tales ecuaciones funcionales , y John Tate retomó la teoría en la tesis de Tate . Hecke encontró caracteres generalizados de campos numéricos, ahora llamados caracteres de Hecke , para los cuales su demostración (basada en funciones theta ) también funcionó. Ahora se entiende que estos caracteres y sus funciones L asociadas están estrictamente relacionados con la multiplicación compleja , al igual que los caracteres de Dirichlet con los campos ciclotómicos .
También hay ecuaciones funcionales para las funciones zeta locales , que surgen en un nivel fundamental para la (análoga de) la dualidad de Poincaré en la cohomología étale . Se supone que los productos de Euler de la función zeta de Hasse-Weil para una variedad algebraica V sobre un campo numérico K , formados reduciendo los ideales de módulo primo para obtener funciones zeta locales, tienen una ecuación funcional global ; pero esto actualmente se considera fuera de alcance, excepto en casos especiales. La definición puede leerse directamente de la teoría de la cohomología étale, nuevamente; pero, en general, parece necesario algún supuesto procedente de la teoría de la representación automórfica para obtener la ecuación funcional. La conjetura de Taniyama-Shimura fue un caso particular de esto como teoría general. Al relacionar el aspecto del factor gamma con la teoría de Hodge y estudios detallados del factor ε esperado, la teoría como empírica se ha llevado a un estado bastante refinado, incluso si faltan pruebas.
Ver también
- Fórmula explícita (función L)
- Fórmula de Riemann-Siegel (ecuación funcional aproximada particular)