En matemáticas, un campo de clase de rayo es una extensión abeliana de un campo global asociado con un grupo de clase de rayo de clases ideales o clases de idele . Cada extensión abeliana finita de un campo numérico está contenida en uno de sus campos de clase de rayo.
El término "grupo de clase de rayos" es una traducción del término alemán "Strahlklassengruppe". Aquí "Strahl" es el término alemán para un rayo, ya menudo significa la línea real positiva, que aparece en las condiciones de positividad que definen los grupos de clases de rayos. Hasse (1926 , p.6) usa "Strahl" para referirse a un cierto grupo de ideales definidos usando condiciones de positividad, y usa "Strahlklasse" para referirse a una clase secundaria de este grupo.
Hay dos nociones ligeramente diferentes de lo que es un campo de clase de rayos, ya que los autores difieren en cómo se tratan los números primos infinitos.
Historia
Weber introdujo los grupos de clases de rayos en 1897. Takagi demostró la existencia de los campos de clases de rayos correspondientes alrededor de 1920. Chevalley reformuló la definición de grupos de clases de rayos en términos de ideles en 1933.
Campos de clase de rayos usando ideales
Si m es un ideal de la anillo de los enteros de un campo de número de K y S es un subconjunto de los lugares reales, entonces el grupo de la clase rayo de m y S es el grupo cociente
donde I m es el grupo de ideales fraccionarios co-prime a m , y el "ray" P m es el grupo de ideales principales generadas por elementos de un con un ≡ 1 mod m que son positivas en los lugares de S . Cuando S consta de todos los lugares reales, de modo que a está restringido a ser totalmente positivo, el grupo se denomina grupo de clase de rayo estrecho de m . Algunos autores utilizan el término "grupo de clases de rayos" para referirse a "grupo de clases de rayos estrecho".
Un campo de clase de rayos de K es la extensión abeliana de K asociada a un grupo de clases de rayos por teoría de campos de clases, y su grupo de Galois es isomorfo al grupo de clases de rayos correspondiente. La prueba de la existencia de un campo de clase de rayo de un grupo de clase de rayo dado es larga e indirecta y, en general, no se conoce una forma fácil de construirlo (aunque se conocen construcciones explícitas en algunos casos especiales, como los campos cuadráticos imaginarios).
Campos de clase Ray usando ideles
Chevalley redefinió el grupo de clase de rayo de un ideal my un conjunto S de lugares reales como el cociente del grupo de clase idele por imagen del grupo.
donde U p viene dado por:
- Los números complejos distintos de cero para un lugar complejo p
- Los números reales positivos para un lugar real p en S , y todos los números reales distintos de cero para p que no están en S
- Las unidades de K p para un lugar finito p que no divide m
- Las unidades de K p congruentes con 1 mod p n si p n es la potencia máxima de p dividiendo m .
Algunos autores usan una definición más general, donde se permite que el grupo U p sean todos los números reales distintos de cero para ciertos lugares reales p .
Los grupos de clases de rayos definidos usando ideles son naturalmente isomorfos a los definidos usando ideales. A veces son más fáciles de manejar teóricamente porque todos son cocientes de un solo grupo y, por lo tanto, más fáciles de comparar.
El campo de clase de rayo de un grupo de clase de rayo es la extensión abeliana (única) L de K tal que la norma del grupo de clase idele C L de L es la imagen deen el grupo de clase Idele de K .
Ejemplos de
Si K es el campo de números racionales , m es un número entero racional distinto de cero y S comprende el lugar de Arquímedes de K , entonces el grupo de clases de rayos de ( m ) y S es isomorfo al grupo de unidades de Z / m Z , y el campo de clase de rayo es el campo generado por la m ésima raíz de la unidad . El campo de clase de rayo para ( m ) y el conjunto vacío de lugares es su subcampo máximo totalmente real: el campo.
El campo de clase de Hilbert es el campo de clase de rayo correspondiente a la unidad ideal y el conjunto vacío de lugares reales, por lo que es el campo de clase de rayo más pequeño. El campo de clase de Hilbert estrecho es el campo de clase de rayo correspondiente a la unidad ideal y el conjunto de todos los lugares reales, por lo que es el campo de clase de rayo estrecho más pequeño.
Referencias
- Hasse, Helmut (1926), "Bericht über neuere Unterschungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper". , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , Gotinga: Teubner, 35
- Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . Grundlehren der mathischen Wissenschaften . 322 . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Señor 1697859 . Zbl 0956.11021 .