El modelo de Hodgkin-Huxley , o modelo basado en conductancia , es un modelo matemático que describe cómo se inician y propagan los potenciales de acción en las neuronas . Es un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales que se aproxima a las características eléctricas de células excitables como neuronas y miocitos cardíacos . Es un sistema dinámico de tiempo continuo .
Alan Hodgkin y Andrew Huxley describieron el modelo en 1952 para explicar los mecanismos iónicos subyacentes al inicio y propagación de los potenciales de acción en el axón gigante del calamar . [1] Recibieron el Premio Nobel de Fisiología o Medicina de 1963 por este trabajo.
Componentes básicos
El modelo típico de Hodgkin-Huxley trata cada componente de una célula excitable como un elemento eléctrico (como se muestra en la figura). La bicapa lipídica se representa como una capacitancia (C m ). Los canales iónicos activados por voltaje están representados por conductancias eléctricas ( g n , donde n es el canal iónico específico) que dependen tanto del voltaje como del tiempo. Los canales de fuga están representados por conductancias lineales ( g L ). Los gradientes electroquímicos que impulsan el flujo de iones están representados por fuentes de voltaje ( E n ) cuyos voltajes están determinados por la relación de las concentraciones intra y extracelulares de las especies iónicas de interés. Finalmente, las bombas de iones están representadas por fuentes de corriente ( I p ). [ aclaración necesaria ] El potencial de membrana se denota por V m .
Matemáticamente, la corriente que fluye a través de la bicapa lipídica se escribe como
y la corriente a través de un canal iónico dado es el producto
dónde es el potencial de inversión del i -ésimo canal iónico. Así, para una célula con canales de sodio y potasio, la corriente total a través de la membrana viene dada por:
donde I es la corriente total de la membrana por unidad de área, C m es la capacitancia de la membrana por unidad de área, g K y g Na son las conductancias de potasio y sodio por unidad de área, respectivamente, V K y V Na son los potenciales de inversión de potasio y sodio , respectivamente, y g l y V l son la conductancia de fuga por unidad de área y potencial de inversión de fugas, respectivamente. Los elementos dependientes del tiempo de esta ecuación son V m , g Na y g K , donde las dos últimas conductancias también dependen explícitamente del voltaje.
Caracterización de la corriente iónica
En los canales iónicos activados por voltaje, la conductancia del canal es una función tanto del tiempo como del voltaje ( en la figura), mientras que en los canales de fuga es una constanteen la figura). La corriente generada por las bombas de iones depende de las especies iónicas específicas de esa bomba. Las siguientes secciones describirán estas formulaciones con más detalle.
Canales iónicos activados por voltaje
Utilizando una serie de experimentos de fijación de voltaje y variando las concentraciones extracelulares de sodio y potasio, Hodgkin y Huxley desarrollaron un modelo en el que las propiedades de una célula excitable se describen mediante un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales ordinarias . [1] Junto con la ecuación para la corriente total mencionada anteriormente, estos son:
donde I es la corriente por unidad de área, y y son constantes de velocidad para el i -ésimo canal iónico, que dependen del voltaje pero no del tiempo.es el valor máximo de la conductancia. n , m , y h son magnitudes adimensionales entre 0 y 1 que se asocian con la activación del canal de potasio, la activación del canal de sodio, y la inactivación del canal de sodio, respectivamente. Para, y coje la forma
y son los valores de estado estacionario para la activación y la inactivación, respectivamente, y generalmente están representados por las ecuaciones de Boltzmann como funciones de. En el artículo original de Hodgkin y Huxley, [1] las funciones y son dadas por
mientras que en muchos programas de software actuales, [2] los modelos de tipo Hodgkin-Huxley generalizan y a
Para caracterizar los canales activados por voltaje, las ecuaciones se ajustan a los datos de la pinza de voltaje. Para obtener una derivación de las ecuaciones de Hodgkin-Huxley bajo tensión-pinza, consulte. [3] Brevemente, cuando el potencial de membrana se mantiene a un valor constante (es decir, pinzamiento de voltaje), para cada valor del potencial de membrana, las ecuaciones de activación no lineal se reducen a ecuaciones de la forma:
Por lo tanto, para cada valor de potencial de membrana las corrientes de sodio y potasio pueden describirse mediante
In order to arrive at the complete solution for a propagated action potential, one must write the current term I on the left-hand side of the first differential equation in terms of V, so that the equation becomes an equation for voltage alone. The relation between I and V can be derived from cable theory and is given by
where a is the radius of the axon, R is the specific resistance of the axoplasm, and x is the position along the nerve fiber. Substitution of this expression for I transforms the original set of equations into a set of partial differential equations, because the voltage becomes a function of both x and t.
The Levenberg–Marquardt algorithm is often used to fit these equations to voltage-clamp data.[4]
While the original experiments treated only sodium and potassium channels, the Hodgkin–Huxley model can also be extended to account for other species of ion channels.
Leak channels
Leak channels account for the natural permeability of the membrane to ions and take the form of the equation for voltage-gated channels, where the conductance is a constant. Thus, the leak current due to passive leak ion channels in the Hodgkin-Huxley formalism is .
Pumps and exchangers
The membrane potential depends upon the maintenance of ionic concentration gradients across it. The maintenance of these concentration gradients requires active transport of ionic species. The sodium-potassium and sodium-calcium exchangers are the best known of these. Some of the basic properties of the Na/Ca exchanger have already been well-established: the stoichiometry of exchange is 3 Na+: 1 Ca2+ and the exchanger is electrogenic and voltage-sensitive. The Na/K exchanger has also been described in detail, with a 3 Na+: 2 K+ stoichiometry.[5][6]
Propiedades matematicas
The Hodgkin–Huxley model can be thought of as a differential equation system with four state variables, , and , that change with respect to time . The system is difficult to study because it is a nonlinear system and cannot be solved analytically. However, there are many numeric methods available to analyze the system. Certain properties and general behaviors, such as limit cycles, can be proven to exist.
Center manifold
Because there are four state variables, visualizing the path in phase space can be difficult. Usually two variables are chosen, voltage and the potassium gating variable , allowing one to visualize the limit cycle. However, one must be careful because this is an ad-hoc method of visualizing the 4-dimensional system. This does not prove the existence of the limit cycle.
A better projection can be constructed from a careful analysis of the Jacobian of the system, evaluated at the equilibrium point. Specifically, the eigenvalues of the Jacobian are indicative of the center manifold's existence. Likewise, the eigenvectors of the Jacobian reveal the center manifold's orientation. The Hodgkin–Huxley model has two negative eigenvalues and two complex eigenvalues with slightly positive real parts. The eigenvectors associated with the two negative eigenvalues will reduce to zero as time t increases. The remaining two complex eigenvectors define the center manifold. In other words, the 4-dimensional system collapses onto a 2-dimensional plane. Any solution starting off the center manifold will decay towards the center manifold. Furthermore, the limit cycle is contained on the center manifold.
Bifurcations
If the injected current were used as a bifurcation parameter, then the Hodgkin–Huxley model undergoes a Hopf bifurcation. As with most neuronal models, increasing the injected current will increase the firing rate of the neuron. One consequence of the Hopf bifurcation is that there is a minimum firing rate. This means that either the neuron is not firing at all (corresponding to zero frequency), or firing at the minimum firing rate. Because of the all-or-none principle, there is no smooth increase in action potential amplitude, but rather there is a sudden "jump" in amplitude. The resulting transition is known as a canard.
Mejoras y modelos alternativos
The Hodgkin–Huxley model is regarded as one of the great achievements of 20th-century biophysics. Nevertheless, modern Hodgkin–Huxley-type models have been extended in several important ways:
- Additional ion channel populations have been incorporated based on experimental data.
- The Hodgkin–Huxley model has been modified to incorporate transition state theory and produce thermodynamic Hodgkin–Huxley models.[7]
- Models often incorporate highly complex geometries of dendrites and axons, often based on microscopy data.
- Stochastic models of ion-channel behavior, leading to stochastic hybrid systems.[8]
- The Poisson–Nernst–Planck (PNP) model is based on a mean-field approximation of ion interactions and continuum descriptions of concentration and electrostatic potential.[9]
Several simplified neuronal models have also been developed (such as the FitzHugh–Nagumo model), facilitating efficient large-scale simulation of groups of neurons, as well as mathematical insight into dynamics of action potential generation.
Ver también
- Action potential
- Anode break excitation
- Autowave
- Biological neuron model
- Biological neural network
- FitzHugh–Nagumo model
- Galves–Löcherbach model
- GHK flux equation
- Goldman equation
- Memristor
- Neural accommodation
- Reaction–diffusion
- Theta model
- Rulkov map
Referencias
- ^ a b c Hodgkin AL, Huxley AF (August 1952). "A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve". The Journal of Physiology. 117 (4): 500–44. doi:10.1113/jphysiol.1952.sp004764. PMC 1392413. PMID 12991237.
- ^ Nelson ME (2005) Electrophysiological Models In: Databasing the Brain: From Data to Knowledge. (S. Koslow and S. Subramaniam, eds.) Wiley, New York, pp. 285–301
- ^ Gray DJ, Wu SM (1997). Foundations of cellular neurophysiology (3rd ed.). Cambridge, Massachusetts [u.a.]: MIT Press. ISBN 978-0-262-10053-3.
- ^ Krapivin, Vladimir F.; Varotsos, Costas A.; Soldatov, Vladimir Yu. (2015). New Ecoinformatics Tools in Environmental Science : Applications and Decision-making. pp. 37–38.
- ^ Rakowski RF, Gadsby DC, De Weer P (May 1989). "Stoichiometry and voltage dependence of the sodium pump in voltage-clamped, internally dialyzed squid giant axon". The Journal of General Physiology. 93 (5): 903–41. doi:10.1085/jgp.93.5.903. PMC 2216238. PMID 2544655.
- ^ Hille B (2001). Ion channels of excitable membranes (3rd ed.). Sunderland, Massachusetts: Sinauer. ISBN 978-0-87893-321-1.
- ^ Forrest, M. D. (May 2014). "Can the Thermodynamic Hodgkin–Huxley Model of Voltage-Dependent Conductance Extrapolate for Temperature?" (PDF). Computation. 2 (2): 47–60. doi:10.3390/computation2020047.
- ^ Pakdaman, K.; Thieullen, M.; Wainrib, G. (2010). "Fluid limit theorems for stochastic hybrid systems with applications to neuron models". Adv. Appl. Probab. 42 (3): 761–794. arXiv:1001.2474. Bibcode:2010arXiv1001.2474P. doi:10.1239/aap/1282924062. S2CID 18894661.
- ^ Zheng, Q.; Wei, G. W. (May 2011). "Poisson-Boltzmann-Nernst-Planck model". Journal of Chemical Physics. 134 (19): 194101. Bibcode:2011JChPh.134s4101Z. doi:10.1063/1.3581031. PMC 3122111. PMID 21599038.
Otras lecturas
- Hodgkin AL, Huxley AF (April 1952). "Currents carried by sodium and potassium ions through the membrane of the giant axon of Loligo". The Journal of Physiology. 116 (4): 449–72. doi:10.1113/jphysiol.1952.sp004717. PMC 1392213. PMID 14946713.
- Hodgkin AL, Huxley AF (April 1952). "The components of membrane conductance in the giant axon of Loligo". The Journal of Physiology. 116 (4): 473–96. doi:10.1113/jphysiol.1952.sp004718. PMC 1392209. PMID 14946714.
- Hodgkin AL, Huxley AF (April 1952). "The dual effect of membrane potential on sodium conductance in the giant axon of Loligo". The Journal of Physiology. 116 (4): 497–506. doi:10.1113/jphysiol.1952.sp004719. PMC 1392212. PMID 14946715.
- Hodgkin AL, Huxley AF (August 1952). "A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve". The Journal of Physiology. 117 (4): 500–44. doi:10.1113/jphysiol.1952.sp004764. PMC 1392413. PMID 12991237.
- Hodgkin AL, Huxley AF, Katz B (April 1952). "Measurement of current-voltage relations in the membrane of the giant axon of Loligo". The Journal of Physiology. 116 (4): 424–48. doi:10.1113/jphysiol.1952.sp004716. PMC 1392219. PMID 14946712.
enlaces externos
- Interactive Javascript simulation of the HH model Runs in any HTML5 – capable browser. Allows for changing the parameters of the model and current injection.
- Interactive Java applet of the HH model Parameters of the model can be changed as well as excitation parameters and phase space plottings of all the variables is possible.
- Direct link to Hodgkin–Huxley model and a Description in BioModels Database
- Neural Impulses: The Action Potential In Action by Garrett Neske, The Wolfram Demonstrations Project
- Interactive Hodgkin–Huxley model by Shimon Marom, The Wolfram Demonstrations Project
- ModelDB A computational neuroscience source code database containing 4 versions (in different simulators) of the original Hodgkin–Huxley model and hundreds of models that apply the Hodgkin–Huxley model to other channels in many electrically excitable cell types.
- Several articles about the stochastic version of the model and its link with the original one.