El método de flujo de carga de inclusión holomórfica ( HELM ) [nota 1] es un método de solución para las ecuaciones de flujo de potencia de los sistemas de energía eléctrica. Sus principales características son que es directo (es decir, no iterativo) y que matemáticamente garantiza una selección consistente de la rama operativa correcta del problema multivalor, señalando también la condición de colapso de voltaje cuando no hay solución. Estas propiedades son relevantes no solo para la confiabilidad de las aplicaciones existentes fuera de línea y en tiempo real, sino también porque permiten nuevos tipos de herramientas analíticas que serían imposibles de construir con los métodos iterativos de flujo de carga existentes (debido a sus problemas de convergencia). . Un ejemplo de esto seríaherramientas de apoyo a la toma de decisiones que proporcionan planes de acción validados en tiempo real.
El algoritmo de flujo de carga HELM fue inventado por Antonio Trias y se le han otorgado dos patentes estadounidenses. [1] [2] Se presentó una descripción detallada en la Junta General de IEEE PES de 2012 y se publicó posteriormente. [3] El método se basa en conceptos avanzados y resultados de análisis complejos , como la holomorficidad , la teoría de curvas algebraicas y la continuación analítica . Sin embargo, la implementación numérica es bastante sencilla ya que utiliza álgebra lineal estándar y la aproximación de Padé . Además, dado que la parte limitante del cálculo es la factorización de la matriz de admitancia y esto se hace solo una vez, su desempeño es competitivo con los flujos de carga desacoplados rápidos establecidos. El método se implementa actualmente en aplicaciones de EMS empaquetadas en tiempo real y fuera de línea de nivel industrial .
Fondo
El cálculo del flujo de carga es uno de los componentes más fundamentales en el análisis de sistemas eléctricos y es la piedra angular de casi todas las demás herramientas utilizadas en la simulación y gestión de sistemas eléctricos . Las ecuaciones de flujo de carga se pueden escribir en la siguiente forma general:
( 1 )
donde los parámetros dados (complejos) son la matriz de admitancia Y ik , las admitancias de derivación de bus Y i sh , y las inyecciones de potencia de bus S i que representan cargas y generadores de potencia constante.
Para resolver este sistema no lineal de ecuaciones algebraicas, se desarrollaron algoritmos tradicionales de flujo de carga basados en tres técnicas iterativas: el método Gauss-Seidel , [4] que tiene malas propiedades de convergencia pero muy pocos requisitos de memoria y es fácil de implementar; el método completo de Newton-Raphson [5] que tiene propiedades de convergencia iterativa rápida (cuadrática), pero es computacionalmente costoso; y el método Fast Disopled Load-Flow (FDLF), [6] que se basa en Newton-Raphson, pero reduce en gran medida su costo computacional mediante una aproximación de desacoplamiento que es válida en la mayoría de las redes de transmisión. Existen muchas otras mejoras incrementales; sin embargo, la técnica subyacente en todos ellos sigue siendo un solucionador iterativo, ya sea del tipo de Gauss-Seidel o de Newton. Hay dos problemas fundamentales con todos los esquemas iterativos de este tipo. Por un lado, no hay garantía de que la iteración siempre converja hacia una solución; por otro, dado que el sistema tiene múltiples soluciones, [nota 2] no es posible controlar qué solución se seleccionará. A medida que el sistema de energía se acerca al punto de colapso de voltaje, las soluciones espúreas se acercan más a la correcta, y el esquema iterativo puede ser atraído fácilmente por una de ellas debido al fenómeno de los fractales de Newton: cuando el método de Newton se aplica a funciones complejas, las cuencas de atracción de las distintas soluciones muestran un comportamiento fractal. [nota 3] Como resultado, no importa qué tan cerca esté el punto inicial elegido de las iteraciones (semilla) a la solución correcta, siempre hay alguna posibilidad distinta de cero de desviarse hacia una solución diferente. Estos problemas fundamentales de los flujos de carga iterativos se han documentado ampliamente. [7] Se proporciona una ilustración simple para el modelo de dos buses en [8] Aunque existen técnicas de continuación homotópicas que alivian el problema hasta cierto punto, [9] la naturaleza fractal de las cuencas de atracción excluye un método 100% confiable para todos los escenarios eléctricos.
La ventaja diferencial clave del HELM es que es totalmente determinista e inequívoco: garantiza que la solución siempre corresponde a la solución operativa correcta, cuando existe; y señala la inexistencia de la solución cuando las condiciones son tales que no hay solución (colapso de voltaje). Además, el método es competitivo con el método FDNR en términos de costo computacional. Aporta un tratamiento matemático sólido del problema del flujo de carga que proporciona nuevos conocimientos que antes no estaban disponibles con los métodos numéricos iterativos.
Metodología y aplicaciones
HELM se basa en una rigurosa teoría matemática y, en términos prácticos, podría resumirse de la siguiente manera:
- Defina una incrustación específica (holomórfica) para las ecuaciones en términos de un parámetro complejo s , tal que para s = 0 el sistema tenga una solución correcta obvia, y para s = 1 se recupere el problema original.
- Dada esta incrustación holomórfica, ahora es posible calcular series de potencia unívocamente para voltajes como funciones analíticas de s . La solución de flujo de carga correcta en s = 1 se obtendrá mediante la continuación analítica de la solución correcta conocida en s = 0 .
- Realice la continuación analítica utilizando aproximaciones algebraicas, que en este caso están garantizadas para converger a la solución si existe, o no converger si la solución no existe (colapso de voltaje).
HELM proporciona una solución a un problema de larga data de todos los métodos de flujo de carga iterativos, a saber, la falta de fiabilidad de las iteraciones para encontrar la solución correcta (o cualquier solución).
Esto hace que HELM sea particularmente adecuado para aplicaciones en tiempo real y obligatorio para cualquier software EMS basado en algoritmos exploratorios, como análisis de contingencia, y en condiciones de alerta y emergencia, resolviendo violaciones de límites operativos y restablecimiento, proporcionando orientación a través de planes de acción.
Incrustación holomórfica
Para los propósitos de la discusión, omitiremos el tratamiento de los controles, pero el método puede acomodar todos los tipos de controles. Para las ecuaciones de restricción impuestas por estos controles, también se debe definir una incrustación holomórfica apropiada.
El método utiliza una técnica de incrustación mediante un parámetro s complejo . El primer ingrediente clave del método radica en exigir que la incrustación sea holomórfica, es decir, que el sistema de ecuaciones para voltajes V se convierta en un sistema de ecuaciones para funciones V (s) de tal manera que el nuevo sistema defina V (s) como funciones holomórficas (es decir, analíticas complejas) de la nueva variable compleja s . El objetivo es poder utilizar el proceso de continuación analítica que permitirá el cálculo de V (s) en s = 1 . Al observar las ecuaciones ( 1 ), una condición necesaria para que la incrustación sea holomórfica es que V * se reemplace debajo de la incrustación con V * (s * ) , no V * (s) . Esto se debe a que la conjugación compleja en sí misma no es una función holomórfica. Por otro lado, es fácil ver que el reemplazo V * (s * ) permite que las ecuaciones definan una función holomórfica V (s) . Sin embargo, para una incrustación arbitraria dada, queda por probar que V (s) es de hecho holomórfico. Teniendo en cuenta todas estas consideraciones, se propone una incrustación de este tipo:
( 1 )
Con esta elección, en s = 0 los términos del lado derecho se vuelven cero, (siempre que el denominador no sea cero), esto corresponde al caso donde todas las inyecciones son cero y este caso tiene una solución operativa bien conocida y simple: todos los voltajes son iguales y todas las intensidades de flujo son cero. Por lo tanto, esta elección para la incrustación proporciona en s = 0 una solución operativa bien conocida.
Ahora, utilizando técnicas clásicas para la eliminación de variables en sistemas polinomiales [10] (los resultados de la teoría de resultantes y la base de Gröbner se puede demostrar que las ecuaciones ( 1 ) de hecho definen V (s) como funciones holomórficas. Más significativamente, definen V (s) como curvas algebraicas . Es este hecho específico, que se vuelve cierto porque la incrustación es holomórfica, lo que garantiza la unicidad del resultado. La solución en s = 0 determina de manera única la solución en todas partes (excepto en un número finito de cortes de rama) , eliminando así la multiplicidad de valores del problema del flujo de carga.
La técnica para obtener los coeficientes para la expansión en serie de potencias (en s = 0 ) de los voltajes V es bastante sencilla, una vez que uno se da cuenta de que las ecuaciones ( 2 ) pueden usarse para obtenerlos orden tras orden. Considere la expansión de la serie de potencia para y . Sustituyendo en las ecuaciones ( 1 ) e identificando términos en cada orden en s n , se obtiene:
( 2 )
Entonces es sencillo resolver la secuencia de sistemas lineales ( 2 ) sucesivamente orden tras orden, comenzando desde n = 0 . Tenga en cuenta que los coeficientes de las expansiones para V y 1 / V están relacionados por las fórmulas de convolución simple derivadas de la siguiente identidad:
( 3 )
de modo que el lado derecho en ( 2 ) siempre se puede calcular a partir de la solución del sistema en el orden anterior. Observe también cómo funciona el procedimiento resolviendo solo sistemas lineales , en los que la matriz permanece constante.
Se ofrece una discusión más detallada sobre este procedimiento en la Ref. [3]
Continuación analítica
Una vez que las series de potencias en s = 0 se calculan en el orden deseado, el problema de calcularlas en s = 1 se convierte en una continuación analítica . Cabe señalar enérgicamente que esto no tiene nada en común con las técnicas de continuación homotópica . La homotopía es poderosa ya que solo hace uso del concepto de continuidad y, por lo tanto, es aplicable a sistemas generales no lineales suaves, pero por otro lado no siempre proporciona un método confiable para aproximar las funciones (ya que se basa en esquemas iterativos como Newton-Raphson).
Se puede probar [11] que las curvas algebraicas son funciones analíticas globales completas , es decir, el conocimiento de la expansión de la serie de potencias en un punto (el llamado germen de la función) determina de manera única la función en todas partes del plano complejo, excepto en un número finito de cortes de ramas . El teorema del dominio extremo de Stahl [12] afirma además que existe un dominio máximo para la continuación analítica de la función, que corresponde a la elección de cortes de rama con una medida de capacidad logarítmica mínima . En el caso de las curvas algebraicas, el número de cortes es finito, por lo que sería factible encontrar continuaciones máximas encontrando la combinación de cortes con capacidad mínima. Para mejoras adicionales, el teorema de Stahl sobre la convergencia de Aproximantes de Padé [13] establece que el Padé diagonal y supra-diagonal (o equivalentemente, las aproximaciones de fracción continua a la serie de potencias) convergen a la continuación analítica máxima. Los ceros y polos de las aproximantes se acumulan notablemente en el conjunto de cortes de rama que tienen una capacidad mínima.
Estas propiedades confieren al método de flujo de carga la capacidad de detectar inequívocamente la condición de colapso de voltaje: se garantiza que las aproximaciones algebraicas convergerán a la solución si existe, o no convergerán si la solución no existe.
Ver también
- Estudio de flujo de energía
- Simulación de sistemas de energía
- Problema de compromiso unitario en la producción de energía eléctrica
Notas
- ^ HELM es una marca comercial de Gridquant Inc.
- ^ Es bien sabido que las ecuaciones de flujo de carga para un sistema eléctrico tienen múltiples soluciones. Para una red con N buses no oscilantes, el sistema puede tener hasta 2 N posibles soluciones, pero solo una es realmente posible en el sistema eléctrico real. Este hecho se utiliza en estudios de estabilidad, ver por ejemplo: Y. Tamura, H. Mori y S. Iwamoto, "Relación entre la inestabilidad de voltaje y las soluciones de flujo de carga múltiple en sistemas de energía eléctrica", IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems , vol. . PAS-102, no 5, págs. 1115-1125, 1983.
- ^ Este es un fenómeno general que afecta al método de Newton-Raphson cuando se aplica a ecuaciones envariables complejas . Véase, por ejemplo, el método de Newton # Funciones complejas .
Referencias
- ^ Patente estadounidense 7519506 , Antonio Trias, "Sistema y método para monitorear y administrar redes de transmisión y distribución de energía eléctrica", emitida el 14 de abril de 2009
- ^ Patente estadounidense 7979239 , Antonio Trias, "Sistema y método para monitorear y administrar redes de transmisión y distribución de energía eléctrica", emitida el 12 de julio de 2011
- ^ a b A. Trias, "El método de flujo de carga de inclusión holomórfica", IEEE Power and Energy Society General Meeting 2011 , 22-26 de julio de 2012.
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