En geometría algebraica , un morfismo entre variedades algebraicas es una función entre las variedades que está dada localmente por polinomios. También se le llama mapa regular . Un morfismo de una variedad algebraica a la línea afín también se denomina función regular . Un mapa regular cuya inversa también es regular se llama birregular , y son isomorfismos en la categoría de variedades algebraicas. Debido a que regular y birregular son condiciones muy restrictivas - no hay funciones regulares no constantes en variedades proyectivas - la condición más débil de un mapa racional yLos mapas biracionales también se utilizan con frecuencia.
Definición
Si X e Y son subvariedades cerradas de y (por lo que son variedades afines ), luego un mapa regulares la restricción de un mapa polinomial Explícitamente, tiene la forma: [1]
donde el s están en el anillo de coordenadas de X :
donde I es el ideal que define X (nota: dos polinomios f y g definen la misma función en X si y solo si f - g está en I ). La imagen f ( X ) se encuentra en Y , y por tanto satisface las ecuaciones que definen de Y . Es decir, un mapa regular es lo mismo que la restricción de un mapa polinomial cuyos componentes satisfacen las ecuaciones definitorias de .
De manera más general, un mapa f : X → Y entre dos variedades es regular en un punto x si hay una vecindad U de x y una vecindad V de f ( x ) tal que f ( U ) ⊂ V y la función restringida f : U → V es regular como una función en algunas cartas afines de U y V . Entonces f es llamada normal , si es habitual en todos los puntos de X .
- Nota: No es inmediatamente obvio que las dos definiciones coincidan: si X e Y son variedades afines, entonces un mapa f : X → Y es regular en el primer sentido si y solo si lo es en el segundo sentido. [a] Además, no está claro de inmediato si la regularidad depende de la elección de gráficos afines (no es así. [b] ) Este tipo de problema de coherencia, sin embargo, desaparece si se adopta la definición formal. Formalmente, una variedad algebraica (abstracta) se define como un tipo particular de espacio anillado localmente . Cuando se usa esta definición, un morfismo de variedades es solo un morfismo de espacios anillados localmente.
La composición de los mapas regulares vuelve a ser regular; así, las variedades algebraicas forman la categoría de variedades algebraicas donde los morfismos son los mapas regulares.
Los mapas regulares entre variedades afines se corresponden de manera contravariable en uno a uno a los homomorfismos de álgebra entre los anillos de coordenadas: si f : X → Y es un morfismo de variedades afines, entonces define el homomorfismo de álgebra
dónde son los anillos de coordenadas de X e Y ; está bien definido desde es un polinomio en elementos de . Por el contrario, si es un homomorfismo de álgebra, entonces induce el morfismo
dado por: escritura
dónde son las imágenes de 's. [c] Nota así como [d] En particular, f es un isomorfismo de variedades afines si y solo si f # es un isomorfismo de los anillos coordinados.
Por ejemplo, si X es una subvariedad cerrado de una variedad afín Y y f es la inclusión, a continuación, f # es la restricción de funciones regulares sobre Y a X . Consulte los #Ejemplos a continuación para ver más ejemplos.
Funciones regulares
En el caso particular de que Y es igual a A 1, el mapa regular f : X → A 1 se denomina función regular y son análogos algebraicos de funciones suaves estudiadas en geometría diferencial. El anillo de funciones regulares (es decir, el anillo de coordenadas o, de manera más abstracta, el anillo de secciones globales de la estructura) es un objeto fundamental en la geometría algebraica afín. La única función regular en una variedad proyectiva es constante (esto puede verse como un análogo algebraico del teorema de Liouville en análisis complejo ).
Una función escalar f : X → A 1 es regular en un punto x si, en algún vecindario afín abierto de x , es una función racional que es regular en x ; es decir, no son funciones regulares g , h cerca de x tal que f = g / h y h no se anula en x . [e] Precaución: la condición es para algún par ( g , h ) no para todos los pares ( g , h ); ver ejemplos .
Si X es una variedad cuasi proyectiva ; es decir, una subvariedad abierta de una variedad proyectiva, entonces el campo de función k ( X ) es el mismo que el del cierrede X y, por tanto, una función racional en X es de la forma g / h para algunos elementos homogéneos g , h del mismo grado en el anillo de coordenadas homogéneo de (cf. Variedad proyectiva # Estructura de variedad .) Entonces una función racional f en X es regular en un punto x si y solo si hay algunos elementos homogéneos g , h del mismo grado ende tal manera que f = g / h y h no se anula en x . Esta caracterización a veces se toma como la definición de una función regular. [2]
Comparación con un morfismo de esquemas.
Si X = Spec A e Y = Spec B son esquemas afines , entonces cada homomorfismo de anillo φ: B → A determina un morfismo
tomando las imágenes previas de los ideales principales . Todos los morfismos entre esquemas afines son de este tipo y pegar tales morfismos da un morfismo de esquemas en general.
Ahora bien, si X , Y son variedades afines; es decir, A , B son dominios integrales que son álgebras generadas finitamente sobre un campo k algebraicamente cerrado , entonces, trabajando solo con los puntos cerrados, lo anterior coincide con la definición dada en #Definition . (Prueba: si f : X → Y es un morfismo, entonces escribir, tenemos que mostrar
dónde son los ideales maximales correspondientes a los puntos x Se y f ( x ); es decir,. Esto es inmediato.)
Este hecho significa que la categoría de variedades afines puede identificarse con una subcategoría completa de esquemas afines sobre k . Dado que los morfismos de variedades se obtienen pegando morfismos de variedades afines de la misma manera que los morfismos de esquemas se obtienen pegando morfismos de esquemas afines, se deduce que la categoría de variedades es una subcategoría completa de la categoría de esquemas sobre k .
Para obtener más detalles, consulte [1] .
Ejemplos de
- Las funciones regulares en A n son exactamente los polinomios en n variables y las funciones regulares en P n son exactamente las constantes.
- Sea X la curva afín. Luego es un morfismo; es biyectivo con el inverso. Dado que g también es un morfismo, f es un isomorfismo de variedades.
- Sea X la curva afín. Luego es un morfismo. Corresponde al homomorfismo del anillo.que se considera inyectiva (ya que f es sobreyectiva).
- Continuando con el ejemplo anterior, sea U = A 1 - {1}. Dado que U es el complemento del hiperplano t = 1, U es afín. La restricciónes biyectiva. Pero el homomorfismo de anillo correspondiente es la inclusión, que no es un isomorfismo y, por tanto, la restricción f | U no es un isomorfismo.
- Sea X la curva afín x 2 + y 2 = 1 y sea Entonces f es una función racional en X . Es regular en (0, 1) a pesar de la expresión ya que, como función racional en X , f también se puede escribir como.
- Sea X = A 2 - (0, 0) . Entonces X es una variedad algebraica ya que es un subconjunto abierto de una variedad. Si f es una función regular en X , entonces f es regular en y así es en . Del mismo modo, está en. Por tanto, podemos escribir: donde g , h son polinomios en k [ x , y ]. Pero esto implica que g es divisible por x n, por lo que f es de hecho un polinomio. Por tanto, el anillo de funciones regulares en X es simplemente k [ x , y ]. (Esto también muestra que X no puede ser afín, ya que si lo fuera, X está determinado por su anillo de coordenadas y, por lo tanto, X = A 2 ).
- Suponer identificando los puntos ( x : 1) con los puntos x en A 1 y ∞ = (1: 0). Hay un automorfismo σ de P 1 dado por σ (x: y) = (y: x); en particular, σ intercambia 0 y ∞. Si f es una función racional en P 1 , entonces y f es regular en ∞ si y solo si f (1 / z ) es regular en cero.
- Tomando el campo de función k ( V ) de una curva algebraica irreducible V , las funciones F en el campo de función pueden realizarse todas como morfismos de V a la línea proyectiva sobre k . [ aclaración necesaria ] (cf. #Propiedades ) La imagen será un solo punto o la línea proyectiva completa (esto es una consecuencia de la integridad de las variedades proyectivas ). Eso es, a menos que F es en realidad constante, tenemos que atribuyen a F el valor ∞ en algunos puntos de V .
- Para cualquier variedad algebraica X , Y , la proyección es un morfismo de variedades. Si X e Y son afines, entonces el homomorfismo de anillo correspondiente esdónde .
Propiedades
Un morfismo entre variedades es continuo con respecto a las topologías de Zariski en la fuente y el destino.
La imagen de un morfismo de variedades no necesita ser abierta ni cerrada (por ejemplo, la imagen de no está abierto ni cerrado). Sin embargo, todavía se puede decir: si f es un morfismo entre variedades, entonces la imagen de f contiene un subconjunto denso abierto de su cierre. (cf. conjunto construible ).
Se dice que un morfismo f : X → Y de variedades algebraicas es dominante si tiene una imagen densa. Para tal f , si V es un subconjunto afín abierto no vacío de Y , entonces hay un subconjunto afín abierto no vacío U de X tal que f ( U ) ⊂ V y luegoes inyectable. Por tanto, el mapa dominante f induce una inyección en el nivel de los campos funcionales:
donde corre el límite más de todos los subconjuntos afines abiertos no vacíos de Y . (De manera más abstracta, este es el mapa inducido del campo de residuos del punto genérico de Y al de X ). A la inversa, cada inclusión de camposes inducida por un dominante mapa racional de X a Y . [3] Por lo tanto, la construcción anterior determina una contravariante-equivalencia entre la categoría de variedades algebraicas sobre un campo k y mapas racionales dominantes entre ellos y la categoría de extensión de campo finitamente generada de k . [4]
Si X es una curva completa suave (por ejemplo, P 1 ) y si f es un mapa racional de X a un espacio proyectivo P m , entonces f es un mapa regular X → P m . [5] En particular, cuando X es una curva completa liso, cualquier función racional en X puede ser visto como un morfismo X → P 1 y, a la inversa, un morfismo tal como una función racional en X .
En una variedad normal (en particular, una variedad suave ), una función racional es regular si y solo si no tiene polos de codimensión uno. [f] Este es un análogo algebraico del teorema de extensión de Hartogs . También hay una versión relativa de este hecho; ver [2] .
Un morfismo entre variedades algebraicas que es un homeomorfismo entre los espacios topológicos subyacentes no necesita ser un isomorfismo (un contraejemplo viene dado por un morfismo de Frobenius .) Por otro lado, si f es biyectiva biracional y el espacio objetivo de f es una variedad normal , entonces f es birregular. (cf. el teorema principal de Zariski ).
Un mapa regular entre variedades algebraicas complejas es un mapa holomórfico . (En realidad, existe una ligera diferencia técnica: un mapa regular es un mapa meromórfico cuyos puntos singulares se pueden quitar , pero la distinción generalmente se ignora en la práctica). En particular, un mapa regular en los números complejos es solo una función holomórfica habitual (complejo -función analítica).
Morfismos a un espacio proyectivo
Dejar
ser un morfismo de una variedad proyectiva a un espacio proyectivo. Deje x ser un punto de X . Entonces alguna i -ésima coordenada homogénea de f ( x ) es distinta de cero; digamos, i = 0 por simplicidad. Entonces, por continuidad, hay un vecindario afín abierto U de x tal que
es un morfismo, donde y i son las coordenadas homogéneas. Tenga en cuenta que el espacio objetivo es el espacio afín A m a través de la identificación. Así, por definición, la restricción f | U viene dado por
donde g i s' son funciones regulares sobre U . Desde X es proyectivo, cada g i es una fracción de elementos homogéneos de la misma titulación en el coordenadas homogéneas anillo k [ X ] de X . Podemos ordenar las fracciones para que todas tengan el mismo denominador homogéneo, digamos f 0 . Entonces podemos escribir g i = f i / f 0 para algunos elementos homogéneos f i 's en k [ X ]. Por lo tanto, volviendo a las coordenadas homogéneas,
para todo x en U y por continuidad para todo x en X siempre que las f i no desaparezcan en x simultáneamente. Si desaparecen simultáneamente en un punto x de X , entonces, mediante el procedimiento anterior, se puede elegir un conjunto diferente de f i que no desaparecen en x simultáneamente (consulte la Nota al final de la sección).
De hecho, la descripción anterior es válida para cualquier variedad cuasi-proyectiva X , una subvariedad abierta de una variedad proyectiva.; la diferencia es que f i están en el anillo de coordenadas homogéneo de.
Nota : Lo anterior no dice que un morfismo de una variedad proyectiva a un espacio proyectivo esté dado por un solo conjunto de polinomios (a diferencia del caso afín). Por ejemplo, sea X la cónicaen P 2 . Luego dos mapas y acordar en el subconjunto abierto de X (desde) y así define un morfismo .
Fibras de un morfismo
El hecho importante es: [6]
Teorema - Let f : X → Y haber una dominante (es decir, que tiene la imagen denso) morfismo de variedades algebraicas, y sea r = dim X - dim Y . Luego
- Para cada subconjunto cerrado irreducible W de Y y cada componente irreducible Z dedominando W ,
- Existe un subconjunto abierto no vacío U en Y tal que (a)y (b) para cada subconjunto cerrado irreducible W de Y que interseca a U y cada componente irreducible Z de intersección ,
Corolario - Sea f : X → Y un morfismo de variedades algebraicas. Para cada x en X , defina
Entonces e es semicontinuo superior ; es decir, para cada entero n , el conjunto
está cerrado.
En el libro rojo de Mumford, el teorema se demuestra mediante el lema de normalización de Noether . Para un enfoque algebraico donde la libertad genérica juega un papel principal y la noción de " anillo de catenaria universal " es una clave en la demostración, ver Eisenbud, Cap. 14 de "Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica". De hecho, la prueba allí muestra que si f es plano , entonces la igualdad de dimensión en 2. del teorema se cumple en general (no solo genéricamente).
Grado de morfismo finito
Sea f : X → Y un morfismo sobreyectivo finito entre variedades algebraicas sobre un campo k . Entonces, por definición, el grado de f es el grado de extensión del campo finito del campo de función k ( X ) sobre f * k ( Y ). Por grado de refino genérico , hay algo de no vacío subconjunto abierto U en Y tal que la restricción de la estructura gavilla O X a f -1 ( U ) es libre como O Y | T -módulo . El grado de f es entonces también el rango de este módulo gratuito.
Si f es étale y si X , Y están completos , entonces para cualquier haz coherente F en Y , escribiendo χ para la característica de Euler,
- [7]
(La fórmula de Riemann-Hurwitz para una cubierta ramificada muestra que aquí no se puede omitir el "étale").
En general, si f es un morfismo sobreyectivo finito, si X , Y son completos y F una gavilla coherente en Y , entonces de la secuencia espectral de Leray , uno obtiene:
En particular, si F es un poder tensorial de un paquete de líneas, luego y desde el apoyo de tiene codimensión positiva si q es positivo, comparando los términos principales, uno tiene:
(ya que el rango genérico dees el grado de f .)
Si f es étale y k es algebraicamente cerrado, entonces cada fibra geométrica f −1 ( y ) consta exactamente de puntos deg ( f ).
Ver también
- Función algebraica
- Morfismo suave
- Morfismos Étale - El análogo algebraico de difeomorfismos locales .
- Resolución de singularidades
- morfismo de contracción
Notas
- ^ Aquí está el argumento que muestra que las definiciones coinciden. Claramente, podemos asumir Y = A 1 . Entonces, el problema aquí es si la "regularidad" se puede unir; esta respuesta es sí y eso se puede ver en la construcción de la estructura de la gavilla de una variedad afín como se describe en la variedad afín # Estructura de la gavilla .
- ^ Sin embargo, no está claro cómo probar esto. Si X , Y son cuasi proyectivas, entonces se puede dar la prueba. El caso no cuasi proyectivo depende en gran medida de la definición que uno tenga de una variedad abstracta
- ^ La imagen dese encuentra en Y ya que si g es un polinomio en J , entonces, el pensamiento a priori es un mapa del espacio afín, desde g es en J .
- ^ Prueba:ya que φ es un homomorfismo de álgebra. También,
- ^ Demostración: Sea A el anillo de coordenadas de tal vecindario afín de x . Si f = g / h con algo de g en A y algo de h distinto de ceroen A , entonces f está en A [ h −1 ] = k [ D ( h )]; es decir, f es una función regular en D ( h ).
- ^ Prueba: basta con considerar el caso en el que la variedad es afín y luego usar el hecho de que un dominio noetheriano integralmente cerrado es la intersección de todas las localizaciones en altura-uno de los ideales primos.
Citas
- ↑ Shafarevich , 2013 , p. 25, Def ..
- ^ Hartshorne 1997 , cap. Yo, § 3 ..
- ^ Vakil, Fundamentos de la geometría algebraica , Proposición 6.5.7.
- ^ Hartshorne 1997 , cap. Yo, teorema 4.4 ..
- ^ Hartshorne 1997 , cap. Yo, Proposición 6.8 ..
- ^ Mumford , cap. I, § 8. Teoremas 2, 3.
- ^ Fulton 1998 , ejemplo 18.3.9 ..
Referencias
- Fulton, William (1998). Teoría de la intersección . Springer Science . ISBN 978-0-387-98549-7.
- Hartshorne, Robin (1997). Geometría algebraica . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9.
- Milne, geometría algebraica , versión antigua v. 5.xx.
- Mumford, David (1999). El libro rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre curvas y sus jacobianos (2ª ed.). Springer-Verlag . doi : 10.1007 / b62130 . ISBN 354063293X.
- Shafarevich, Igor R. (2013). Geometría algebraica básica 1 . Springer Science . ISBN 978-0-387-97716-4.