La transformación de Holstein-Primakoff en mecánica cuántica es un mapeo de los operadores de espín de los operadores de creación y aniquilación de bosones , truncando efectivamente su espacio Fock de dimensión infinita en subespacios de dimensión finita.
Un aspecto importante de la mecánica cuántica es la aparición, en general, de operadores no conmutados que representan observables , cantidades que pueden medirse. Un ejemplo estándar de un conjunto de tales operadores son los tres componentes de los operadores de momento angular , que son cruciales en muchos sistemas cuánticos. Estos operadores son complicados y a uno le gustaría encontrar una representación más simple, que pueda usarse para generar esquemas de cálculo aproximados.
La transformación fue desarrollada [1] en 1940 por Theodore Holstein , un estudiante de posgrado en ese momento, [2] y Henry Primakoff . Este método ha encontrado una amplia aplicabilidad y se ha extendido en muchas direcciones diferentes.
Existe un vínculo estrecho con otros métodos de mapeo de bosones de álgebras de operadores: en particular, la técnica (no hermitiana) de Dyson- Maleev [3] [4] y, en menor medida, el mapa de Jordan-Schwinger . [5] Además, existe un vínculo estrecho con la teoría de los estados coherentes (generalizados) en las álgebras de Lie .
La técnica básica
La idea básica se puede ilustrar con el ejemplo básico de los operadores de espín de la mecánica cuántica.
Para cualquier conjunto de ejes ortogonales diestros, defina los componentes de este operador vectorial como , y , que no se desplazan mutuamente , es decir, y sus permutaciones cíclicas.
Para especificar de forma única los estados de un giro, se puede diagonalizar cualquier conjunto de operadores de desplazamiento. Normalmente se utilizan los operadores SU (2) Casimir y , que conduce a estados con los números cuánticos ,
El número cuántico de proyección asume todos los valores .
Considere una sola partícula de espín s (es decir, observe una sola representación irreducible de SU (2)). Ahora toma el estado con máxima proyección., el estado de peso extremo como un vacío para un conjunto de operadores de bosones, y cada estado subsiguiente con un número cuántico de proyección más bajo como una excitación de bosones del anterior,
Cada bosón adicional corresponde a una disminución de ħ en la proyección de espín. Así, los operadores de subida y bajada de centrifugado y , así que eso , corresponden (en el sentido detallado a continuación) a los operadores bosónicos de aniquilación y creación, respectivamente. Las relaciones precisas entre los operadores deben elegirse para asegurar las correctas relaciones de conmutación para los operadores de espín, de manera que actúen en un espacio de dimensión finita, a diferencia del espacio original de Fock.
La transformación de Holstein-Primakoff resultante se puede escribir como
La transformación es particularmente útil en el caso donde s es grande, cuando las raíces cuadradas se pueden expandir como series de Taylor , para dar una expansión en potencias decrecientes de s .
Alternativamente a una expansión de Taylor, ha habido un progreso reciente con una reanudación de la serie que hizo posibles expresiones que son polinomiales en operadores bosónicos pero aún matemáticamente exactas (en el subespacio físico). La reanudación [6] que es exacta para spin s = 1/2 se da a continuación
Si bien la expresión anterior no es exacta para giros superiores a 1/2, es una mejora con respecto a la serie de Taylor. También existen expresiones exactas para giros más altos e incluyen más términos. Al igual que el resultado anterior también para las expresiones de giros más altos y por tanto la reanimación es hermitiana.
También existe una variante no hermita de Dyson-Maleev , la realización J está relacionada con lo anterior y es válida para todos los giros,
satisfaciendo las mismas relaciones de conmutación y caracterizado por el mismo invariante de Casimir.
La técnica puede extenderse aún más al álgebra de Witt , [7] que es el álgebra de Virasoro sin centros .
Referencias
- ^ T. Holstein y H. Primakoff , Phys. Rev. 58 , 1098-1113 (1940) doi : 10.1103 / PhysRev.58.1098
- ^ "Theodore D. Holstein, Física: Los Ángeles" . Universidad de California . Consultado el 23 de diciembre de 2015 .
- ^ A. Klein y ER Marshalek, Realizaciones de bosones de álgebras de Lie con aplicaciones a la física nuclear, s http://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.63.375 doi : 10.1103 / RevModPhys.63.375
- ^ "Clásico de citas de esta semana por FJ Dyson, 4 de agosto de 1986" (PDF) . Contenido actual (36): 16. 8 de septiembre de 1986.
- ^ Schwinger, J. (1952). "On Angular Momentum" , Informe no publicado, Universidad de Harvard, Nuclear Development Associates, Inc., Departamento de Energía de Estados Unidos (a través de la agencia predecesora, la Comisión de Energía Atómica ), Número de informe NYO-3071 (26 de enero de 1952).
- ^ Michael Vogl, Pontus Laurell, Hao Zhang, Satoshi Okamoto y Gregory A. Fiete, Phys. Rev. Research 2 , 043243 (2020) doi : 10.1103 / PhysRevResearch.2.043243
- ^ D Fairlie , J Nuyts y C Zachos (1988). Phys Lett B202 320-324. doi : 10.1016 / 0370-2693 (88) 90478-9