Propiedad conmutativa

En matemáticas , una operación binaria es conmutativa si cambiar el orden de los operandos no cambia el resultado. Es una propiedad fundamental de muchas operaciones binarias y muchas pruebas matemáticas dependen de ella. Más familiar como el nombre de la propiedad que dice algo como "3 + 4 = 4 + 3" o "2 × 5 = 5 × 2" , la propiedad también se puede usar en configuraciones más avanzadas. El nombre es necesario porque hay operaciones, como división y resta , que no lo tienen (por ejemplo, "3 - 5 ≠ 5 - 3" ); tales operaciones no sonconmutativas, por lo que se denominan operaciones no conmutativas . Durante muchos años se asumió implícitamente la idea de que las operaciones simples, como la multiplicación y la suma de números, son conmutativas. Así, esta propiedad no fue nombrada hasta el siglo XIX, cuando las matemáticas comenzaron a formalizarse. ^{[1] [2]} Existe una propiedad correspondiente para las relaciones binarias ; se dice que una relación binaria es simétrica si la relación se aplica independientemente del orden de sus operandos; por ejemplo, la igualdad es simétrica ya que dos objetos matemáticos iguales son iguales independientemente de su orden. ^[3]

La propiedad conmutativa (o ley conmutativa ) es una propiedad generalmente asociada con operaciones y funciones binarias . Si la propiedad conmutativa es válida para un par de elementos en una determinada operación binaria, se dice que los dos elementos se conmutan en esa operación.

Una operación binaria en un conjunto S se llama conmutativa si ^{[4] [5]}${\ Displaystyle *}$

Se dice que x conmuta con Y o que x e y conmutan bajo si${\ Displaystyle *}$

Una función binaria a veces se llama conmutativa si${\ Displaystyle f \ colon A \ times A \ to B}$

Como consecuencia directa de esto, también es cierto que las expresiones en la forma y% de zyz% de y son conmutativas para todos los números reales y y z. ^[6] Por ejemplo, 64% de 50 = 50% de 64, ya que ambas expresiones equivalen a 32, y 30% de 50% = 50% de 30%, ya que ambas expresiones equivalen a 15%.

Una operación es conmutativa si y solo si para cada y . Esta imagen ilustra esta propiedad con el concepto de una operación como una "máquina de cálculo". No importa el resultado o, respectivamente, qué orden tienen los argumentos y el resultado final es el mismo.${\ Displaystyle \ circ}$ ${\ Displaystyle x \ circ y = y \ circ x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle x \ circ y}$${\ Displaystyle y \ circ x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

La acumulación de manzanas, que puede verse como una suma de números naturales, es conmutativa.

La suma de vectores es conmutativa, porque .${\ Displaystyle {\ vec {a}} + {\ vec {b}} = {\ vec {b}} + {\ vec {a}}}$

El primer uso conocido del término fue en una revista francesa publicada en 1814.

Gráfico que muestra la simetría de la función de suma