Homersham Cox (1857-1918) fue un matemático inglés. [1] [2]
Homersham Cox | |
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Nació | 15 de julio de 1857 Wimbledon , Surrey |
Fallecido | 27 de mayo de 1918 | (60 años)
La vida
Era hijo de Homersham Cox (1821-1897) y hermano de Harold Cox [3] y fue educado en Tonbridge School (1870-1875). En el Trinity College, Cambridge , se graduó como cuarto wrangler en 1880 y MA en 1883. Se convirtió en miembro en 1881. Su hermana menor, Margaret, lo describió como un hombre a menudo completamente perdido en sus pensamientos. [4] Estaba casado con Amy Cox. [5] Más tarde se separaron y ella comenzó a trabajar como institutriz en Rusia en 1907. [6]
Cox escribió cuatro artículos aplicando el álgebra a la física y luego pasó a la educación matemática con un libro sobre aritmética en 1885. Sus Principios de aritmética incluían números binarios , números primos y permutaciones . [c 1]
Contratado para enseñar matemáticas en Muir Central College , Cox se convirtió en un residente de Allahabad , Uttar Pradesh desde 1891 hasta su muerte en 1918. Estaba casado con Amy Cox, con quien tuvo una hija, Ursula Cox. [5]
Trabajar en geometría no euclidiana
1881-1883 publicó artículos sobre geometría no euclidiana . [c 2] [c 3] [c 4] [c 5]
Por ejemplo, en su artículo de 1881 (que se publicó en dos partes en 1881 y 1882) [c 2] [c 3] describió coordenadas homogéneas para la geometría hiperbólica, ahora llamadas coordenadas de Weierstrass del modelo hiperboloide introducido por Wilhelm Killing (1879) y Henri Poincaré (1881)). Como Poincaré en 1881, Cox escribió las transformaciones generales de Lorentz dejando invariante la forma cuadrática, y además también para . También formuló el impulso de Lorentz que describió como una transferencia del origen en el plano hiperbólico, en la página 194:
Gustav von Escherich utilizó fórmulas similares en 1874, a quien Cox menciona en la página 186. En su artículo de 1882/1883 [c 4] [c 5] , que trata de la geometría no euclidiana, los cuaterniones y el álgebra exterior , proporcionó la siguiente fórmula que describe una transferencia del punto P al punto Q en el plano hiperbólico, en la página 86
Juntos con con para el espacio elíptico, y con para espacio parabólico. En la página 88, identificó todos estos casos como multiplicaciones de cuaterniones . La varianteahora se llama un número hiperbólico , la expresión completa de la izquierda se puede utilizar como versor hiperbólico . Posteriormente, ese artículo fue descrito por Alfred North Whitehead (1898) de la siguiente manera: [7]
Homersham Cox construye un álgebra lineal [cf. 22] análoga a Biquaternions de Clifford que se aplica a la geometría hiperbólica de dos y tres y mayores dimensiones. También señala la aplicabilidad de la multiplicación interna de Grassmann para la expresión de las fórmulas de distancia tanto en el espacio elíptico como en el hiperbólico; y lo aplica a la teoría métrica de sistemas de fuerzas. Todo su artículo es sumamente sugerente.
Cadena de Cox
En 1891 Cox publicó una cadena de teoremas en geometría euclidiana de tres dimensiones:
(i) En el espacio de tres dimensiones tome un punto 0 por el que pasan varios planos a, b, c, d, e , ....
(ii) Cada dos planos se cruzan en una línea que pasa por 0. En cada una de esas líneas se toma un punto al azar. El punto de la línea de intersección de los planos una y b se denomina punto ab .
(iii) Tres planos a, b, c , dan tres puntos bc, ac, ab . Éstos determinan un plano. Se llamará plano abc . Así, los planos a, b, c, abc , forman un tetraedro con vértices bc, ac, ab , 0.
(iv) Cuatro planos a, b, c, d , dan cuatro planos abc, abd, acd, bcd . Se puede demostrar que estos se encuentran en un punto. Llámalo el punto abcd .
(v) Cinco planos a, b, c, d, e , dan cinco puntos como abcd . Se puede demostrar que estos se encuentran en un avión. Llámalo el avión abcde .
(vi) Seis planos a, b, c, d, e, f , dan seis planos como abcde . Se puede demostrar que estos se encuentran en un punto. Llámalo el punto abcdef . Y así indefinidamente. [c 6]
El teorema se ha comparado con los teoremas del círculo de Clifford, ya que ambos son una cadena infinita de teoremas. En 1941, Richmond argumentó que la cadena de Cox era superior:
- El interés de Cox radica en el descubrimiento de aplicaciones de Ausdehnungslehre de Grassmann y usa la cadena para ese fin. Cualquier geómetra actual (para quien muchas de las propiedades de Cox de los círculos en un plano deben parecer no poco artificiales) estaría de acuerdo en que su figura de puntos y planos en el espacio es más simple y fundamental que la de los círculos en un plano que deriva. de eso. Sin embargo, esta figura de 2 n círculos muestra más allá de toda duda la superioridad de la cadena de Cox sobre la de Clifford; porque el último se incluye como un caso especial cuando la mitad de los círculos del primero se reducen a puntos. La figura plana de Cox de 2 n círculos se puede derivar mediante métodos elementales. [8]
HSM Coxeter derivó el teorema de Clifford intercambiando el punto arbitrario en una línea ab con una esfera arbitraria alrededor de 0 que luego interseca ab . Los planos a, b, c , ... intersecan esta esfera en círculos que se pueden proyectar estereográficamente en un plano. El lenguaje plano de Cox luego se traduce a los círculos de Clifford. [9]
En 1965, los tres primeros teoremas de Cox se probaron en el libro de texto de Coxeter, Introducción a la geometría . [10]
Obras
- ↑ Cox, H. (1885). Principios de aritmética . Deighton.
- ^ a b Cox, H. (1881). "Coordenadas homogéneas en geometría imaginaria y su aplicación a sistemas de fuerzas" . The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 18 (70): 178-192.
- ^ a b Cox, H. (1882) [1881]. "Coordenadas homogéneas en geometría imaginaria y su aplicación a sistemas de fuerzas (continuación)" . The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 18 (71): 193–215.
- ^ a b Cox, H. (1883) [1882]. "Sobre la aplicación de cuaterniones y Ausdehnungslehre de Grassmann a diferentes tipos de espacio uniforme" . Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 13 : 69 –143.
- ^ a b Cox, H. (1883) [1882]. "Sobre la aplicación de cuaterniones y Ausdehnungslehre de Grassmann a diferentes tipos de espacio uniforme" . Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 4 : 194 -196.
- ^ Cox, H. (1891). "Aplicación de Ausdehnungslehre de Grassmann a las propiedades de los círculos" . The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 25 : 1–70.
Referencias
- ^ Steed, HE, ed. (1911). El registro de Tonbridge School de 1826 a 1910 . Rivingtons. págs. 150 .
- ^ "Cox, Homersham (CS875H)" . Una base de datos de antiguos alumnos de Cambridge . Universidad de Cambridge.
- ^ Starr 2003 , p. 4.
- ↑ Olivier , 1948 , p. 59.
- ↑ a b Starr , 2003 , p. 7.
- ^ Davies y Liddle 1990 , p. 11.
- ^ Whitehead, A. (1898). Tratado de álgebra universal . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 370 .
- ^ Herbert W. Richmond (1941) "En una cadena de teoremas debido a Homersham Cox", Revista de la Sociedad Matemática de Londres 16: 105–7, MR0004964
- ^ HSM Coxeter (1950) Configuraciones auto-duales y gráficos regulares , Boletín de la American Mathematical Society 56: 413–55, especialmente 447, vía Proyecto Euclid
- ^ HS M Coxeter (1965) Introducción a la geometría , página 258, John Wiley & Sons
Bibliografía
- Davies, Richard; Liddle, Peter (1990). Paz y guerra: los británicos en Rusia en el siglo XIX y principios del XX: Catálogo de exposiciones . Biblioteca Brotherton, Universidad de Leeds .
- Olivier, Sydney Haldane (1948). Olivier, Margaret (ed.). Sydney Olivier: Cartas y escritos seleccionados . Prefacio de Bernard Shaw . Allen y Unwin . (Texto completo disponible aquí )
- Starr, Martin P. (2003). El Dios Desconocido: WT Smith y los Thelemitas . The Teitan Press, Inc. ISBN 978-0-933429-07-9.