Álgebra de mentiras de homotopía

En matemáticas , en particular en el álgebra abstracta y la topología , un álgebra de Lie homotopía (o -álgebra ) es una generalización del concepto de un álgebra de Lie graduada diferencial . Para ser un poco más específico, la identidad de Jacobi solo se sostiene hasta la homotopía. Por lo tanto, un álgebra de Lie de grado diferencial puede verse como un álgebra de Lie homotopía donde la identidad de Jacobi se mantiene en la nariz. Estas álgebras de homotopía son útiles para clasificar los problemas de deformación sobre la característica 0 en la teoría de la deformación porque los functores de deformación se clasifican por clases de cuasi-isomorfismo de -álgebras. ^[1]${\displaystyle L_{\infty }}$${\displaystyle L_{\infty }}$Esto fue ampliado posteriormente a todas las características por Jonathan Pridham. ^[2]

Las álgebras de Homotopy Lie tienen aplicaciones dentro de las matemáticas y la física matemática ; están vinculadas, por ejemplo, al formalismo de Batalin-Vilkovisky de forma muy parecida a como lo están las álgebras de Lie diferenciales graduadas.

Definición

Existen varias definiciones diferentes de un álgebra de Lie homotópica, algunas particularmente adecuadas para ciertas situaciones más que otras. La definición más tradicional es a través de mapas simétricos multilineales, pero también existe una definición geométrica más sucinta utilizando el lenguaje de la geometría formal . Aquí se hace la suposición general de que el campo subyacente es de característica cero.

Definición geométrica

Un álgebra de Lie de homotopía en un espacio vectorial graduado es una derivación continua , de orden que cuadra a cero en la variedad formal . Aquí está el álgebra simétrica completa, es la suspensión de un espacio vectorial graduado y denota el dual lineal. Por lo general, se describe como el álgebra de Lie homotopía y con el diferencial como el álgebra graduada diferencial conmutativa que representa.${\displaystyle V=\bigoplus V_{i}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle >1}$${\displaystyle {\hat {S}}\Sigma V^{*}}$${\displaystyle {\hat {S}}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle (V,m)}$${\displaystyle {\hat {S}}\Sigma V^{*}}$${\displaystyle m}$

Utilizando esta definición de un álgebra de homotopy Lie, uno define un morfismo de álgebras de Lie homotopy, , como un morfismo de su diferencial conmutativa representa clasifican álgebras que conmuta con el campo de vector, es decir, . Las álgebras de Homotopy Lie y sus morfismos definen una categoría .${\displaystyle f\colon (V,m_{V})\to (W,m_{W})}$${\displaystyle f\colon {\hat {S}}\Sigma V^{*}\to {\hat {S}}\Sigma W^{*}}$${\displaystyle f\circ m_{V}=m_{W}\circ f}$

Definición mediante mapas multilineales

La definición más tradicional de un álgebra de Lie de homotopía es a través de una colección infinita de mapas multilineales simétricos que a veces se denomina definición a través de corchetes superiores. Cabe señalar que las dos definiciones son equivalentes.

Un álgebra de Lie de homotopía ^[3] en un espacio vectorial graduado es una colección de mapas simétricos multilineales de grados , a veces llamados corchetes -arianos, para cada uno . Además, los mapas satisfacen la identidad generalizada de Jacobi:${\displaystyle V=\bigoplus V_{i}}$${\displaystyle l_{n}\colon V^{\otimes n}\to V}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle l_{n}}$

${\displaystyle \sum _{i+j=n+1}\sum _{\sigma \in \mathrm {UnShuff} (i,n-i)}\chi (\sigma ,v_{1},\dots ,v_{n})(-1)^{i(j-1)}l_{j}(l_{i}(v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (i)}),v_{\sigma (i+1)},\dots ,v_{\sigma (n)})=0,}$

para cada n. Aquí la suma interna se desborda y es la firma de la permutación. La fórmula anterior tiene interpretaciones significativas para valores bajos de ; por ejemplo, cuando dice que los cuadrados a cero (es decir, es un diferencial activado ), cuando dice que es una derivación de , y cuando dice que satisface la identidad de Jacobi hasta un término exacto de (es decir, se mantiene a la altura de la homotopía). Tenga en cuenta que cuando los soportes superiores para desaparecer, la definición de un diferencial clasifican álgebra de Lie sobre se recupera.${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle l_{2}}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle l_{2}}$${\displaystyle l_{3}}$${\displaystyle l_{n}}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle V}$

Utilizando el enfoque a través de mapas multilineales, se puede definir un morfismo de las álgebras de Lie homotópicas mediante una colección de mapas multilineales simétricos que satisfacen determinadas condiciones.${\displaystyle f_{n}\colon V^{\otimes n}\to W}$

Definición vía operads

También existe una definición más abstracta de un álgebra de homotopía usando la teoría de operadas : es decir, un álgebra de Lie homotopía es un álgebra sobre una operada en la categoría de complejos de cadena sobre la operada.${\displaystyle L_{\infty }}$

(Cuasi) isomorfismos y modelos mínimos

Se dice que un morfismo de las álgebras de Lie homotopía es un (cuasi) isomorfismo si su componente lineal es un (cuasi) isomorfismo, donde los diferenciales de y son solo los componentes lineales de y .${\displaystyle f\colon V\to W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle m_{V}}$${\displaystyle m_{W}}$

Una clase especial importante de álgebras de Lie de homotopía son las llamadas álgebras de Lie de homotopía mínima , que se caracterizan por la desaparición de su componente lineal . Esto significa que cualquier cuasi isomorfismo de las álgebras de Lie de homotopía mínima debe ser un isomorfismo. Cualquier álgebra de Lie homotopía es cuasi-isomorfa a una mínima, que debe ser única hasta el isomorfismo y, por lo tanto, se denomina modelo mínimo .${\displaystyle l_{1}}$

Ejemplos de

Debido a que las -álgebras tienen una estructura tan compleja, describir incluso casos simples puede ser una tarea no trivial en la mayoría de los casos. Afortunadamente, existen casos simples que provienen de álgebras de Lie diferenciales graduadas y casos que provienen de ejemplos de dimensión finita.${\displaystyle L_{\infty }}$

Álgebras de Lie diferenciadas graduadas

Una de las clases accesibles de ejemplos de -álgebras proviene de la incrustación de álgebras de Lie diferenciadas graduadas en la categoría de -álgebras. Esto se puede describir dando la derivación, la estructura del álgebra de Lie y para el resto de los mapas.${\displaystyle L_{\infty }}$${\displaystyle L_{\infty }}$${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle l_{2}}$${\displaystyle l_{k}=0}$

Álgebras L _{∞ de} dos términos

En grados 0 y 1

Una clase notable de ejemplos son las -álgebras que solo tienen dos espacios vectoriales subyacentes distintos de cero . Luego, sacando la definición de -álgebras, esto significa que hay un mapa lineal${\displaystyle L_{\infty }}$${\displaystyle V_{0},V_{1}}$${\displaystyle L_{\infty }}$

${\displaystyle d\colon V_{1}\to V_{0}}$,

mapas bilineales

${\displaystyle l_{2}\colon V_{i}\times V_{j}\to V_{i+j}}$, donde ,${\displaystyle 0\leq i+j\leq 1}$

y un mapa trilineal

${\displaystyle l_{3}\colon V_{0}\times V_{0}\times V_{0}\to V_{1}}$

que satisfacen una gran cantidad de identidades. ^{[4] pág. 28} En particular, el mapa de implica que tiene una estructura de álgebra de mentira hasta una homotopía. Esto viene dado por el diferencial de ya que da la estructura -álgebra implica${\displaystyle l_{2}}$${\displaystyle V_{0}\times V_{0}\to V_{0}}$${\displaystyle l_{3}}$${\displaystyle L_{\infty }}$

${\displaystyle dl_{3}(a,b,c)=-[[a,b],c]+[[a,c],b]+[a,[b,c]]}$,

mostrando que es un soporte de Lie más alto. De hecho, algunos autores escriben los mapas como , por lo que la ecuación anterior podría leerse como${\displaystyle l_{n}}$${\displaystyle [-,\cdots ,-]_{n}:V_{\bullet }\to V_{\bullet }}$

${\displaystyle d[a,b,c]_{3}=-[[a,b],c]+[[a,c],b]+[a,[b,c]]}$,

mostrando que el diferencial del corchete de 3 da la falla de que el corchete de 2 sea una estructura de álgebra de Lie. Es sólo un álgebra de Lie hasta la homotopía. Si tomamos el complejo, entonces tiene una estructura de álgebra de Lie a partir del mapa inducido de .${\displaystyle H_{*}(V_{\bullet },d)}$${\displaystyle H_{0}(V_{\bullet },d)}$${\displaystyle [-,-]_{2}}$

En grados 0 y n

En este caso, para , no hay diferencial, por lo que es un álgebra de Lie en la nariz, pero, hay los datos adicionales de un espacio vectorial en grados y un corchete superior${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle l_{n+2}\colon \bigoplus ^{n+2}V_{0}\to V_{n}.}$

Resulta que este corchete superior es de hecho un cocilo superior en la cohomología del álgebra de Lie . Más específicamente, si volvemos a escribir como el álgebra de Lie y y una representación del álgebra de Lie (dada por la estructura mapa ), entonces hay una biyección de cuádruples${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle ({\mathfrak {g}},V,\rho ,l_{n+2})}$donde es una -cociclo${\displaystyle l_{n+2}\colon {\mathfrak {g}}^{\otimes n+2}\to V}$${\displaystyle (n+2)}$

y las -álgebras de dos términos con espacios vectoriales distintos de cero en grados y . ^{[4] pág. 42} Tenga en cuenta que esta situación es muy análoga a la relación entre la cohomología de grupo y la estructura de n-grupos con dos grupos de homotopía no triviales. Para el caso del término término -álgebras en grados y existe una relación similar entre el álgebra de Lie cociclos y tales corchetes superiores. En la primera inspección, no es un resultado obvio, pero queda claro después de observar el complejo de homología.${\displaystyle L_{\infty }}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle L_{\infty }}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle H_{*}(V_{1}\xrightarrow {d} V_{0})}$,

por lo que el diferencial se vuelve trivial. Esto da un álgebra equivalente que luego se puede analizar como antes.${\displaystyle L_{\infty }}$

Ejemplo en grados 0 y 1

Un ejemplo simple de un álgebra de Lie-2 viene dado por el -álgebra con donde es el producto cruzado de los vectores y es la representación trivial. Entonces, hay un corchete superior dado por el producto escalar de los vectores${\displaystyle L_{\infty }}$${\displaystyle V_{0}=(\mathbb {R} ^{3},\times )}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle V_{1}=\mathbb {R} }$${\displaystyle l_{3}}$

${\displaystyle l_{3}(a,b,c)=a\cdot (b\times c).}$

Se puede comprobar que el diferencial de esta -álgebra es siempre cero utilizando álgebra lineal básica ^{[4] pág} . ⁴⁵ .${\displaystyle L_{\infty }}$

Ejemplo de dimensión finita

Proponer ejemplos sencillos para estudiar la naturaleza de las -álgebras es un problema complejo. Por ejemplo, ^[5] dado un espacio vectorial graduado donde tiene la base dada por el vector y la base dada por los vectores , existe una estructura de -álgebra dada por las siguientes reglas${\displaystyle L_{\infty }}$${\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1}}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle v_{1},v_{2}}$${\displaystyle L_{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&l_{1}(v_{1})=l_{1}(v_{2})=w\\&l_{2}(v_{1}\otimes v_{2})=v_{1},l_{2}(v_{1}\otimes w)=w\\&l_{n}(v_{2}\otimes w^{\otimes n-1})=C_{n}w{\text{ for }}n\geq 3\end{aligned}},}$

donde . Tenga en cuenta que las primeras constantes son${\displaystyle C_{n}=(-1)^{n-1}(n-3)C_{n-1},C_{3}=1}$

${\displaystyle {\begin{matrix}C_{3}&C_{4}&C_{5}&C_{6}\\1&-1&-2&12\end{matrix}}}$

Dado que debería ser de grado , los axiomas implican eso . Hay otros ejemplos similares de álgebras de super ^[6] Lie. ^[7] Además, las estructuras en espacios vectoriales graduados cuyo espacio vectorial subyacente es bidimensional se han clasificado completamente. ^[3]${\displaystyle l_{1}(w)}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle l_{1}(w)=0}$${\displaystyle L_{\infty }}$

Ver también

• Álgebra asociativa de homotopía
• Álgebra diferencial graduada
• Formalismo BV
• Álgebra de mentira simple
• Homología Hochschild
• Cuantificación de deformaciones

Referencias

1. Lurie, Jacob . "Geometría algebraica derivada X: problemas de módulos formales" (PDF) . pag. 31, Teorema 2.0.2.
2. Pridham, Jonathan Paul (2012). "Deformaciones derivadas de esquemas" . Comunicaciones en Análisis y Geometría . 20 (3): 529–563. arXiv : 0908.1963 . doi : 10.4310 / CAG.2012.v20.n3.a4 . Señor 2974205 . 
3. Daily, Marilyn Elizabeth (14 de abril de 2004). Estructuras en espacios de baja dimensión (PhD). hdl : 1840,16 / 5282 . L ∞ {\displaystyle L_{\infty }}
4. Báez, John C .; Crans, Alissa S. (24 de enero de 2010). "Álgebra VI de dimensiones superiores: Lie 2-Algebras". Teoría y aplicaciones de categorías . 12 : 492–528. arXiv : matemáticas / 0307263 .
5. Diariamente, Marilyn; Lada, Tom (2005). "Un ejemplo de álgebra de dimensión finita en la teoría de gauge" . Homología, Homotopía y Aplicaciones . 7 (2): 87–93. doi : 10.4310 / HHA.2005.v7.n2.a4 . Señor 2156308 . L ∞ {\displaystyle L_{\infty }}  
6. Fialowski, Alice; Penkava, Michael (2002). "Ejemplos de álgebras de infinito y de Lie y sus deformaciones versales" . Publicaciones del Centro Banach . 55 : 27–42. arXiv : matemáticas / 0102140 . doi : 10.4064 / bc55-0-2 . Señor 1911978 . S2CID 14082754 .  
7. Fialowski, Alice; Penkava, Michael (2005). "Álgebras de Lie fuertemente homotopía de una dimensión par y dos impares" . Revista de álgebra . 283 (1): 125-148. arXiv : matemáticas / 0308016 . doi : 10.1016 / j.jalgebra.2004.08.023 . Señor 2102075 . S2CID 119142148 .  

Introducción

• Teoría de la deformación (notas de clase) : ofrece una excelente descripción general de las álgebras de Lie de homotopía y su relación con la teoría de la deformación y la cuantificación de la deformación.
• Lada, Tom; Stasheff, Jim (1993). "Introducción a las álgebras de Sh Lie para físicos". Revista Internacional de Física Teórica . 32 (7): 1087-1104. arXiv : hep-th / 9209099 . Código Bibliográfico : 1993IJTP ... 32.1087L . doi : 10.1007 / BF00671791 . S2CID  16456088 .

En física

• Arvanitakis, Alex S. (2019). "El L∞-álgebra de la matriz S". arXiv : 1903.05643 [ hep-ésimo ].
• Hohm, Olaf; Zwiebach, Barton (2017). "L∞ Álgebras y teoría de campos". Fortsch. Phys . 65 (3–4): 1700014. arXiv : 1701.08824 . Código bibliográfico : 2017ForPh..6500014H . doi : 10.1002 / prop.201700014 . S2CID  90628041 . - Hacia la clasificación de campos clásicos invariantes de calibre perturbativo.

En deformación y teoría de cuerdas

• Pridham, Jonathan P. (2015). "Deformaciones derivadas de pilas Artin". Comunicaciones en Análisis y Geometría . 23 (3): 419–477. arXiv : 0805.3130 . doi : 10.4310 / CAG.2015.v23.n3.a1 . Señor  3310522 . S2CID  14505074 .
• Pridham, Jonathan P. (2010). "Unificando las teorías derivadas de la deformación" . Avances en Matemáticas . 224 (3): 772–826. arXiv : 0705.0344 . doi : 10.1016 / j.aim.2009.12.009 . Señor  2628795 . S2CID  14136532 .
• Hu, Po; Kriz, Igor; Voronov, Alexander A. (2006). "Sobre la conjetura de cohomología Hochschild de Kontsevich". Compositio Mathematica . 142 (1): 143-168. arXiv : matemáticas / 0309369 . doi : 10.1112 / S0010437X05001521 . Señor  2197407 . S2CID  15153116 .

Ideas relacionadas

• Roberts, Justin; Willerton, Simon (2010). "Sobre los sistemas de peso Rozansky-Witten" . Topología algebraica y geométrica . 10 (3): 1455-1519. arXiv : matemáticas / 0602653 . doi : 10.2140 / agt.2010.10.1455 . Señor  2661534 . (Álgebras de Lie en la categoría derivada de haces coherentes).

enlaces externos

• "Seminario de aprendizaje sobre teoría de la deformación" . Instituto Max Planck de Matemáticas. 2018.Discute la teoría de la deformación en el contexto de -álgebras.${\displaystyle L_{\infty }}$