En matemáticas , en particular álgebra abstracta y topología , un álgebra de Lie diferenciada graduada (o álgebra de Lie dg , o dgla ) es un espacio vectorial graduado con álgebra de Lie agregada y estructuras complejas de cadena que son compatibles. Estos objetos tienen aplicaciones en la teoría de la deformación [1] y la teoría de la homotopía racional .
Definición
Un álgebra de Lie graduada diferencial es un espacio vectorial graduado sobre un campo de característica cero junto con un mapa bilineal y un diferencial satisfactorio
la identidad graduada de Jacobi :
y la regla graduada de Leibniz:
para cualquier homogénea elementos x , y y z en L . Observe aquí que el diferencial reduce el grado y, por lo tanto, este álgebra de Lie diferenciada graduada se considera homológicamente graduada. Si, en cambio, el grado diferencial elevado se dice que el álgebra de Lie diferenciada graduada se califica cohomológicamente (generalmente para reforzar este punto, la calificación se escribe en superíndice:). La elección de la clasificación cohomológica generalmente depende de las preferencias personales o de la situación, ya que son equivalentes: un espacio clasificado homológicamente se puede convertir en uno cohomológico a través del entorno..
Las definiciones equivalentes alternativas de un álgebra de Lie diferencial graduada incluyen:
- un objeto de álgebra de Lie interno a la categoría de complejos de cadena;
- una estricta -álgebra.
Un morfismo de álgebras de Lie diferenciadas graduadas es un mapa lineal graduado que conmuta con el soporte y el diferencial, es decir, y . Las álgebras de Lie diferenciadas graduadas y sus morfismos definen una categoría .
Productos y coproductos
El producto de dos álgebras de Lie diferenciales graduadas,, se define de la siguiente manera: tome la suma directa de los dos espacios vectoriales graduados , ahora equípalo con el soporte y diferencial .
El coproducto de dos álgebras de Lie diferenciadas graduadas,, a menudo se denomina producto gratuito. Se define como el álgebra de Lie libre graduada en los dos espacios vectoriales subyacentes con el diferencial único que extiende los dos originales.
Conexión con la teoría de la deformación
La aplicación principal es la teoría de la deformación sobre campos de característica cero (en particular sobre los números complejos). La idea se remonta al trabajo de Daniel Quillen sobre la teoría de la homotopía racional . Una forma de formular esta tesis (debida a Vladimir Drinfeld , Boris Feigin , Pierre Deligne , Maxim Kontsevich y otros) podría ser: [1]
- Cualquier problema de deformación formal razonable en la característica cero puede ser descrito por elementos de Maurer-Cartan de un álgebra de Lie diferenciada graduada apropiada.
Un elemento Maurer-Cartan es un grado elemento, , esa es una solución a la ecuación de Maurer-Cartan :
Ver también
Referencias
- ↑ a b Hinich, Vladimir (2001). "DG coalgebras como pilas formales". Revista de álgebra pura y aplicada . 162 (2–3): 209–250. arXiv : matemáticas / 9812034 . doi : 10.1016 / S0022-4049 (00) 00121-3 . Señor 1843805 . S2CID 15720862 .
- Quillen, Daniel (1969), "Teoría de la homotopía racional", Annals of Mathematics , 90 (2): 205-295, doi : 10.2307 / 1970725 , JSTOR 1970725 , MR 0258031
Otras lecturas
- Jacob Lurie , Problemas de módulos formales , sección 2.1
enlaces externos
- álgebra de Lie diferenciada graduada en nLab
- estructura del modelo en álgebras de Lie dg en nLab