Esquema formal

En matemáticas , específicamente en geometría algebraica , un esquema formal es un tipo de espacio que incluye datos sobre su entorno. A diferencia de un esquema ordinario , un esquema formal incluye datos infinitesimales que, en efecto, apuntan en una dirección fuera del esquema. Por esta razón, los esquemas formales aparecen con frecuencia en temas como la teoría de la deformación . Pero el concepto también se usa para probar un teorema como el teorema de funciones formales , que se usa para deducir teoremas de interés para esquemas habituales.

Un esquema localmente noetheriano es un esquema formal localmente noetheriano en la forma canónica: la terminación formal a lo largo de sí mismo. En otras palabras, la categoría de esquemas formales localmente noetherianos contiene todos los esquemas locales noetherianos.

Los esquemas formales fueron motivados por la teoría de Zariski de las funciones holomórficas formales y la generalizaron .

La geometría algebraica basada en esquemas formales se denomina geometría algebraica formal .

Definición

Los esquemas formales generalmente se definen solo en el caso noetheriano . Si bien ha habido varias definiciones de esquemas formales no noetherianos, estos encuentran problemas técnicos. En consecuencia, solo definiremos esquemas formales localmente noetherianos.

Se asumirá que todos los anillos son conmutativos y con unidad . Sea A un anillo topológico (noetheriano) , es decir, un anillo A que es un espacio topológico tal que las operaciones de suma y multiplicación son continuas. A se topologiza linealmente si cero tiene una base que consta de ideales . Un ideal de definición para un anillo topologizado linealmente es un ideal abierto tal que para cada vecindario abierto V de 0, existe un entero positivo n tal que . Un anillo linealmente topologizado es${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}^{n}\subseteq V}$preadmisible si admite un ideal de definición, y es admisible si también es completo . (En la terminología de Bourbaki , esto es "completo y separado").

Suponga que A es admisible y sea ​​un ideal de definición. Un ideal primordial está abierto si y solo si contiene . El conjunto de ideales primos de abrir una , o equivalentemente el conjunto de ideales primos de , es el espacio topológico subyacente del espectro formales de A , denotado Spf A . Spf A tiene un haz de estructura que se define utilizando el haz de estructura del espectro de un anillo . Sea una base de vecindad para cero que consta de ideales de definición. Todos los espectros de tienen el mismo espacio topológico subyacente pero un haz de estructura diferente. La estructura de la gavilla de Spf A${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle A/{\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}_{\lambda }}$${\displaystyle A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$es el límite proyectivo .${\displaystyle \varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}}$

Se puede demostrar que si f ∈ A y D _f es el conjunto de todos los ideales primos abiertos de A que no contienen f , entonces , ¿dónde está la finalización de la localización A _f .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{{\text{Spf}}A}(D_{f})={\widehat {A_{f}}}}$${\displaystyle {\widehat {A_{f}}}}$

Finalmente, un esquema formal localmente noetheriano es un espacio anillado topológicamente (es decir, un espacio anillado cuyo haz de anillos es un haz de anillos topológicos) de manera que cada punto admite un vecindario abierto isomorfo (como espacios anillados topológicamente) al espectro formal. de un anillo noetheriano.${\displaystyle ({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

Morfismos entre esquemas formales

Un morfismo de esquemas formales localmente noetherianos es un morfismo de ellos como espacios localmente anillado de tal manera que la aplicación inducida es un homomorfismo continuo de anillos topológicos para cualquier subconjunto abierto afín T .${\displaystyle f:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {Y}}}$${\displaystyle f^{\#}:\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\mathfrak {Y}})\to \Gamma (f^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$

f se dice que es adic o es un esquema formal -ádico si existe un ideal de definición tal que es un ideal de definición para . Si f es adic, entonces esta propiedad es válida para cualquier ideal de definición.${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle f^{*}({\mathcal {I}}){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

Ejemplos de

Para cualquier I ideal y anillo A podemos definir la topología I-ádica en A , definida por su base que consiste en conjuntos de la forma a + I ⁿ . Esto es admisible y admisible si A es I -adicamente completo. En este caso, Spf A es el espacio topológico Spec A / I con haz de anillos en lugar de . ${\displaystyle {\text{lim}}_{n}{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/I^{n}}=\lim _{n}{\widetilde {A/I^{n}}}}$${\displaystyle {\widetilde {A/I}}}$

1. A = k [[t]] y I = (t) . Entonces A / I = k por lo que el espacio Spf A es un solo punto (t) en el que su estructura de gavilla toma valor k [[t]] . Compare esto con Spec A / I , cuya estructura gavilla toma el valor k en este punto: esto es un ejemplo de la idea de que Spf A es un 'engrosamiento formal' de un sobre me .
2. La finalización formal de un subesquema cerrado. Considere el subesquema cerrado X del plano afín sobre k , definido por el ideal I = (y ² -x ³ ) . Tenga en cuenta que A ₀ = k [x, y] no es I -adicamente completo; escriba A para su finalización I -ádica. En este caso, Spf A = X como espacios y su estructura es la gavilla . Sus secciones son globales A , en lugar de X cuyas secciones globales son A / I .${\displaystyle \lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}}$

Ver también

• función holomorfa formal
• Teoría de la deformación
• Teorema de schlessinger

Referencias

• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007 / bf02684778 . Señor  0217083 .

enlaces externos

• finalización formal