Colímite de homotopía

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En matemáticas , especialmente en topología algebraica , la homotopía límite y colímite ^{[1] pág. 52} son variantes de las nociones de límite y colímite extendidas a la categoría de homotopía . La idea principal es esta: si tenemos un diagrama${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Arriba}})}$

${\displaystyle F:I\a {\textbf {Arriba}}}$

considerado como un objeto en la categoría de homotopía de diagramas , (donde la equivalencia de homotopía de diagramas se considera puntualmente), entonces el límite de homotopía y los colímites corresponden al cono y cocono${\displaystyle F\in {\text{Ho}}({\textbf {Arriba}}^{I})}$

${\displaystyle {\begin{alineado}{\underset {\leftarrow I}{\text{Holim}}}(F)&:*\to {\textbf {Top}}\\{\underset {\rightarrow I} {\text{Hocolim}}}(F)&:*\to {\textbf {Arriba}}\end{alineado}}}$

que son objetos en la categoría de homotopía , donde es la categoría con un objeto y un morfismo. Tenga en cuenta que esta categoría es equivalente a la categoría de homotopía estándar, ya que la última categoría de funtores de homotopía tiene funtores que seleccionan un objeto y una transformación natural corresponde a una función continua de espacios topológicos. Tenga en cuenta que esta construcción se puede generalizar a categorías de modelos , que brindan técnicas para construir límites y colímites de homotopía en términos de otras categorías de homotopía, como categorías derivadas . Otra perspectiva que formaliza este tipo de construcciones son los derivados ^{[2] pg 193} que son un nuevo marco para el álgebra homotópica${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Arriba}}^{*})}$${\ estilo de visualización *}$${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Arriba}})}$${\displaystyle {\text{Superior}}}$.

El concepto de colímite de homotopía ^{[1] pág. 4-8} es una generalización de las expulsiones de homotopía , como el cilindro de mapeo utilizado para definir una cofibración . Esta noción está motivada por la siguiente observación: la expulsión (ordinaria )

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