En matemáticas , particularmente en la teoría de la homotopía , una categoría modelo es una categoría con clases distinguidas de morfismos ('flechas') llamadas ' equivalencias débiles ', ' fibraciones ' y ' cofibraciones ' que satisfacen ciertos axiomas que las relacionan. Estos se abstraen de la categoría de espacios topológicos o de complejos de cadenas ( teoría de categorías derivadas ). El concepto fue introducido por Daniel G. Quillen ( 1967 ).
En las últimas décadas, el lenguaje de las categorías modelo se ha utilizado en algunas partes de la teoría K algebraica y la geometría algebraica , donde los enfoques teóricos de la homotopía condujeron a resultados profundos.
Las categorías de modelo pueden proporcionar un escenario natural para la teoría de la homotopía : la categoría de espacios topológicos es una categoría de modelo, con la homotopía correspondiente a la teoría habitual. De manera similar, los objetos que se consideran espacios a menudo admiten una estructura de categorías modelo, como la categoría de conjuntos simpliciales .
Otra categoría modelo es la categoría de complejos de la cadena de R -modules para un anillo conmutativo R . La teoría de la homotopía en este contexto es álgebra homológica . Entonces, la homología puede verse como un tipo de homotopía, lo que permite generalizaciones de homología a otros objetos, como grupos y R -algebras , una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría. Debido al ejemplo anterior con respecto a la homología, el estudio de categorías de modelos cerrados a veces se considera álgebra homotópica .
La definición dada inicialmente por Quillen fue la de una categoría de modelo cerrada, cuyos supuestos parecían fuertes en ese momento, lo que motivó a otros a debilitar algunos de los supuestos para definir una categoría de modelo. En la práctica, la distinción no ha demostrado ser significativa y los autores más recientes (por ejemplo, Mark Hovey y Philip Hirschhorn) trabajan con categorías de modelos cerradas y simplemente eliminan el adjetivo "cerrado".
La definición se ha separado a la de una estructura modelo en una categoría y luego a condiciones categóricas adicionales en esa categoría, cuya necesidad puede parecer desmotivada al principio pero se vuelve importante más tarde. La siguiente definición sigue la dada por Hovey.