En matemáticas , los derivados son un nuevo marco propuesto [1] [2] pág. 190-195 para el álgebra homológica que proporciona un marco para el álgebra homológica no abeliana y varias generalizaciones del mismo. Fueron introducidos para abordar las deficiencias de las categorías derivadas (como la no funcionalidad de la construcción del cono) y proporcionar al mismo tiempo un lenguaje para el álgebra homotópica .
Los derivados fueron introducidos por primera vez por Alexander Grothendieck en su manuscrito inédito de 1983, Pursuing Stacks . Luego, fueron desarrollados por él en el enorme manuscrito inédito de 1991 Les Dérivateurs de casi 2000 páginas.
El manuscrito ha sido editado para su publicación en línea por Georges Maltsiniotis. La teoría ha sido desarrollada por varias otras personas, incluidos Heller, Franke , Keller y Groth.
Motivaciones
Una de las razones que motivan la consideración de derivados es la falta de funcionalidad con la construcción de cono con categorías trianguladas . Los derivados son capaces de resolver este problema y resolver la inclusión de colímites de homotopía general , realizando un seguimiento de todos los diagramas posibles en una categoría con equivalencias débiles y sus relaciones entre sí. Heurísticamente, dado el diagrama
que es una categoría con dos objetos y una flecha de no identidad y un funtor
a una categoría con una clase de equivalencias débiles , y satisfaciendo las hipótesis correctas, debe tener un functor asociado
donde el objeto de destino es único hasta una equivalencia débil en . Los derivados pueden codificar este tipo de información y proporcionar un cálculo de diagrama para usar en categorías derivadas y teoría de homotopía.
Definición
Prederivadores
Formalmente, un prederivador es un 2-functor
de una categoría 2 adecuada de índices a la categoría de categorías. Por lo general, estos 2-functores provienen de considerar las categorías dónde se llama categoría de coeficientes . Por ejemplo,podría ser la categoría de pequeñas categorías que se filtran, cuyos objetos se pueden considerar como conjuntos de indexación para un colimit filtrado . Entonces, dado un morfismo de diagramas
denotar por
Esto se llama functor de imagen inverso . En el ejemplo motivador, esto es solo una precomposición, así que dado un functor hay un functor asociado . Tenga en cuenta que estos 2-functores se pueden considerar
dónde es una clase adecuada de equivalencias débiles en una categoría .
Categorías de indexación
Hay varios ejemplos de categorías de indexación que se pueden utilizar en esta construcción.
- La categoría 2 de categorías finitas, por lo que los objetos son categorías cuya colección de objetos son conjuntos finitos.
- La categoría ordinal se puede clasificar en dos categorías, donde los objetos son categorías con un objeto, y los functores vienen de las flechas en la categoría ordinal.
- Otra opción es simplemente usar la categoría de categorías pequeñas.
- Además, asociado a cualquier espacio topológico es una categoria que podría utilizarse como categoría de indexación.
- Por otra parte, los sitios que subyacen a la Zariksi , Etale , etc, tópicos depara algún esquema o espacio algebraico junto con sus morfismos se pueden utilizar para la categoría de indexación
- Esto se puede generalizar a cualquier topos. , por lo que la categoría de indexación es el sitio subyacente.
Derivadores
Los derivados son entonces la axiomatización de los prederivadores que vienen equipados con functores adjuntos.
dónde se deja adjunto a y así. Heurísticamente, debe corresponder a límites inversos, a colimits.
Referencias
- ^ Grothendieck. "Les Dérivateurs" .
- ^ Grothendieck. "Perseguir pilas" . thescrivener.github.io . Archivado (PDF) desde el original el 30 de julio de 2020 . Consultado el 17 de septiembre de 2020 .
enlaces externos
- derivador en nLab
- Subtopoi, subtopos abiertos y subtopos cerrados
- https://golem.ph.utexas.edu/category/2018/03/stabilization_of_derivators.html