En el campo matemático de la teoría de la representación , un par dual reductivo es un par de subgrupos ( G , G ′) del grupo de isometría Sp ( W ) de un espacio vectorial simpléctico W , tal que G es el centralizador de G ′ en Sp ( W ) y viceversa, y estos grupos actúan de forma reductora en W . Algo más vagamente, se habla de un par dual siempre que dos grupos son los centralizadores mutuos en un grupo más grande, que con frecuencia es un grupo lineal general.. El concepto fue introducido por Roger Howe en Howe (1979) . Sus fuertes vínculos con la teoría clásica invariante se analizan en Howe (1989a) .
Ejemplos de
- El grupo simpléctico completo G = Sp ( W ) y el grupo de dos elementos G ′, el centro de Sp ( W ), forman un par dual reductivo. La propiedad del doble centralizador se desprende de la forma en que se definieron estos grupos: el centralizador del grupo G en G es su centro, y el centralizador del centro de cualquier grupo es el grupo mismo. El grupo G ′, consiste en la transformación de identidad y su negativo, y puede interpretarse como el grupo ortogonal de un espacio vectorial unidimensional. Se desprende del desarrollo posterior de la teoría de que este par es una primera instancia de una familia general de pares duales que consisten de un grupo simpléctico y un grupo ortogonal, que son conocidos como de tipo I irreductible pares duales reductoras .
- Deje que X sea un n espacio vectorial dimensional, Y sea su doble , y W sea la suma directa de X e Y . Entonces W se puede convertir en un espacio vectorial simpléctico de forma natural, de modo que ( X , Y ) es su polarización lagrangiana. El grupo G es el grupo lineal general GL ( X ), que actúa tautológicamente en X y contragrediently en Y . El centralizador de G en el grupo simpléctico es el grupo G ′, que consiste en operadores lineales en W que actúan sobre X por multiplicación por un escalar λ distinto de cero y sobre Y por multiplicación escalar por su inverso λ −1 . Entonces, el centralizador de G ′ es G , estos dos grupos actúan de manera completamente reducible en W y, por lo tanto, forman un par dual reductor. El grupo G ', se puede interpretar como el grupo lineal general de un espacio vectorial unidimensional. Este par es miembro de una familia de pares duales que consta de grupos lineales generales conocidos como pares duales reductores irreductibles tipo II .
Teoría de la estructura y clasificación
La noción de un par dual reductivo tiene sentido en cualquier campo F , que suponemos está fijo en todo momento. Por lo tanto W es un simpléctico espacio vectorial sobre F .
Si W 1 y W 2 son dos espacios vectoriales simplécticos y ( G 1 , G ′ 1 ), ( G 2 , G ′ 2 ) son dos pares duales reductivos en los grupos simplécticos correspondientes, entonces podemos formar un nuevo espacio vectorial simpléctico W = W 1 ⊕ W 2 y un par de grupos G = G 1 × G 2 , G ′ = G ′ 1 × G ′, 2 actuando sobre W por isometrías. Resulta que ( G , G ′) es un par dual reductivo. Un par dual reductivo se llama reducible si puede obtenerse de esta manera a partir de grupos más pequeños, e irreductible de otro modo. Un par reducible puede descomponerse en un producto directo de los irreductibles y, para muchos propósitos, basta con limitar la atención al caso irreductible.
Varias clases de pares duales reductivos habían aparecido anteriormente en la obra de André Weil . Roger Howe demostró un teorema de clasificación, que establece que en el caso irreductible, esos pares agotan todas las posibilidades. Se dice que un par dual reductor irreductible ( G , G ′) en Sp ( W ) es de tipo II si hay un subespacio lagrangiano X en W que es invariante bajo G y G ′, y de tipo I en caso contrario.
Un par dual reductivo arquetípico irreducible de tipo II consta de un par de grupos lineales generales y surge como sigue. Sean U y V dos espacios vectoriales sobre F , X = U ⊗ F V su producto tensorial e Y = Hom F ( X , F ) su dual . Entonces, la suma directa W = X ⊕ Y se puede dotar de una forma simpléctica tal que X e Y son subespacios lagrangianos, y la restricción de la forma simpléctica a X × Y ⊂ W × W coincide con el emparejamiento entre el espacio vectorial X y su doble Y . Si G = GL ( U ) y G ′ = GL ( V ), entonces ambos grupos actúan linealmente en X e Y , las acciones conservan la forma simpléctica en W , y ( G , G ′) es un par dual reductor irreducible. Tenga en cuenta que X es un subespacio lagrangiano invariante, por lo que este par dual es de tipo II.
Un par dual reductivo arquetípico irreductible de tipo I consta de un grupo ortogonal y un grupo simpléctico y se construye de manera análoga. Sea U un espacio vectorial ortogonal y V un espacio vectorial simpléctico sobre F , y W = U ⊗ F V su producto tensorial. La observación clave es que W es un espacio vectorial simpléctico cuya forma bilineal se obtiene del producto de las formas sobre los factores tensoriales. Además, si G = O ( U ) y G ′ = Sp ( V ) son los grupos de isometría de U y V , entonces actúan sobre W de forma natural, estas acciones son simplécticas, y ( G , G ′) es un par dual reductor irreducible de tipo I.
Estas dos construcciones producen todos los pares duales reductores irreductibles sobre un campo F algebraicamente cerrado , como el campo C de números complejos . En general, se pueden reemplazar los espacios vectoriales sobre F por espacios vectoriales sobre una división de álgebra D sobre F , y proceder de manera similar a lo anterior para construir un par dual reductor irreductible de tipo II. Para el tipo I, uno comienza con un álgebra de división D con involución τ, una forma hermitiana en U y una forma oblicua-hermitiana en V (ambas no degeneradas), y forma su producto tensorial sobre D , W = U ⊗ D V . Entonces W está naturalmente dotado de una estructura de un espacio vectorial simpléctico sobre F , los grupos isométricos de U y V actúan simplécticamente sobre W y forman un par dual reductivo irreductible de tipo I. Roger Howe demostró que, hasta un isomorfismo, cualquier irreducible el par dual surge de esta manera. Una lista explícita para el caso F = R aparece en Howe (1989b) .
Ver también
- Howe correspondencia entre representaciones de elementos de un par dual reductivo.
- Grupo Heisenberg
- Grupo metapléctico
Referencias
- Howe, Roger E. (1979), "Serie θ y teoría invariante" (PDF) , en Borel, Armand ; Casselman, W. (eds.), Formas automórficas, representaciones y funciones L (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Parte 1 , Proc. Simpos. Pure Math., XXXIII, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 275–285, ISBN 978-0-8218-1435-2, MR 0546602
- Howe, Roger E. (1989a), "Observaciones sobre la teoría invariante clásica", Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 313 (2): 539–570, doi : 10.2307 / 2001418 , JSTOR 2001418.
- Howe, Roger E. (1989b), "Trascendiendo la teoría invariante clásica", Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense, Sociedad Matemática Estadounidense, 2 (3): 535–552, doi : 10.2307 / 1990942 , JSTOR 1990942.
- Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Representaciones e invariantes de los grupos clásicos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-66348-2.