En matemáticas , el grupo metapléctico Mp 2 n es una doble cobertura del grupo simpléctico Sp 2 n . Puede definirse sobre números reales o p -ádicos . La construcción cubre de manera más general el caso de un campo arbitrario local o finito , e incluso el anillo de adeles .
El grupo metapléctico tiene una representación lineal de dimensión infinita particularmente significativa , la representación de Weil . [1] Fue utilizado por André Weil para dar una interpretación teórica de la representación de funciones theta , y es importante en la teoría de formas modulares de peso medio integral y la correspondencia theta .
Definición
El grupo fundamental del grupo de Lie simpléctico Sp 2n ( R ) es cíclico infinito , lo que tiene una doble cubierta conectado único, que se denota Mp 2 n ( R ) y llamó al grupo metaplectic .
El grupo metapléctico Mp 2 ( R ) no es un grupo matricial : no tiene representaciones de dimensión finita fieles . Por tanto, la cuestión de su realización explícita no es trivial. Tiene representaciones de dimensión infinita irreductibles fieles, como la representación de Weil que se describe a continuación.
Se puede demostrar que si F es cualquier campo local distinto de C , entonces el grupo simpléctico Sp 2 n ( F ) admite una extensión central perfecta única con el núcleo Z / 2 Z , el grupo cíclico de orden 2, que se llama el grupo metaplectic sobre F . Sirve como una sustitución algebraica de la noción topológica de una cubierta de 2 veces utiliza cuando F = R . El enfoque a través de la noción de extensión central es útil incluso en el caso de un grupo metapléctico real, porque permite una descripción del funcionamiento del grupo a través de un ciclo determinado .
Construcción explícita para n = 1
En el caso n = 1 , el grupo simpléctico coincide con el grupo lineal especial SL 2 ( R ) . Este grupo actúa biholomórficamente en el semiplano superior complejo mediante transformaciones lineales fraccionarias,
- dónde
es una matriz real de 2 por 2 con la unidad determinante yz está en el semiplano superior, y esta acción puede usarse para construir explícitamente la cobertura metapléctica de SL 2 ( R ).
Los elementos del grupo metapléctico Mp 2 ( R ) son los pares ( g , ε ), dondey ε es una función holomórfica en el semiplano superior tal que. La ley de la multiplicación está definida por:
- dónde
Que este producto esté bien definido se deduce de la relación de ciclo . El mapa
es una elevación de Mp 2 ( R ) a SL 2 ( R ) que no admite un tramo continuo. Por lo tanto, hemos construido una portada doble no trivial del último grupo.
Construcción de la representación de Weil
Primero damos una razón bastante abstracta por la que existe la representación de Weil. El grupo de Heisenberg tiene una representación unitaria irreductible en un espacio de Hilbert, es decir,
con el centro actuando como una constante distinta de cero dada. El teorema de Stone-von Neumann establece que esta representación es esencialmente única: si es otra representación de este tipo, existe un automorfismo
- tal que .
y el automorfismo de conjugación es proyectivamente único, es decir, hasta una constante de módulo multiplicativo 1. Entonces, cualquier automorfismo del grupo de Heisenberg, induciendo la identidad en el centro, actúa sobre esta representación.—Para ser precisos, la acción sólo está bien definida hasta la multiplicación por una constante distinta de cero.
Los automorfismos del grupo de Heisenberg (fijando su centro) forman el grupo simpléctico , por lo que a primera vista esto parece dar una acción del grupo simpléctico sobre. Sin embargo, la acción solo se define hasta la multiplicación por una constante distinta de cero, en otras palabras, solo se puede mapear el automorfismo del grupo a la clase. Así que solo obtenemos un homomorfismo del grupo simpléctico al grupo unitario proyectivo de; en otras palabras, una representación proyectiva . Entonces se aplica la teoría general de las representaciones proyectivas, para dar una acción de alguna extensión central del grupo simpléctico en. Un cálculo muestra que esta extensión central puede tomarse como una doble cubierta, y esta doble cubierta es el grupo metapléctico.
Ahora damos una construcción más concreta en el caso más simple de Mp 2 ( R ). El espacio de Hilbert H es entonces el espacio de todas las funciones L 2 en los reales. El grupo de Heisenberg se genera por traslación y por multiplicación por las funciones e ixy de x , para y real. Entonces, la acción del grupo metapléctico sobre H se genera mediante la transformada de Fourier y la multiplicación por las funciones exp ( ix 2 y ) de x , para y real.
Generalizaciones
Weil mostró cómo extender la teoría anterior reemplazando ℝ por cualquier grupo abeliano G localmente compacto , que según la dualidad de Pontryagin es isomorfo a su dual (el grupo de caracteres). El espacio de Hilbert H es entonces el espacio de todos los L 2 funciones en G . El (análogo de) el grupo de Heisenberg se genera mediante traslaciones por elementos de G y multiplicación por elementos del grupo dual (considerados como funciones de G al círculo unitario). No es un análogo del grupo simpléctico que actúa sobre el grupo de Heisenberg, y esta acción levanta a una representación proyectiva en H . La extensión central correspondiente del grupo simpléctico se llama grupo metapléctico.
Algunos ejemplos importantes de esta construcción los dan:
- G es un espacio vectorial sobre los reales de dimensión n . Esto da un grupo metapléctico que es una doble cobertura del grupo simpléctico Sp 2 n ( R ).
- De manera más general, G puede ser un espacio vectorial sobre cualquier campo local F de dimensión n . Esto da un grupo metapléctico que es una doble cobertura del grupo simpléctico Sp 2 n ( F ).
- G es un espacio vectorial sobre los adeles de un campo numérico (o campo global ). Este caso se utiliza en el enfoque teórico de la representación de las formas automórficas .
- G es un grupo finito. El grupo metapléctico correspondiente también es finito y la cubierta central es trivial. Este caso se usa en la teoría de las funciones theta de las celosías, donde típicamente G será el grupo discriminante de una celosía par .
- David Kazhdan propuso un punto de vista moderno sobre la existencia de la representación de Weil lineal (no proyectiva) sobre un campo finito, a saber, que admite una realización espacial canónica de Hilbert . Utilizando la noción de operadores canónicos entrelazados sugerida por Joseph Bernstein , Gurevich-Hadani construyó tal realización. [2]
Ver también
- Grupo de Heisenberg
- Estructura metapléctica
- Par dual reductor
- Spin group , otra doble tapa
- Grupo simpléctico
- Función theta
Notas
- ^ Weil, A. (1964). "Sur ciertos groupes d'opérateurs unitaires" . Acta Math . 111 : 143–211. doi : 10.1007 / BF02391012 .
- ^ Gurevich, Shamgar; Hadani, Ronny (31 de mayo de 2007). "Cuantización de espacios vectoriales simplécticos sobre campos finitos". arXiv : 0705.4556 [ math.RT ].
Referencias
- Howe, Roger; Tan, Eng-Chye (1992), análisis armónico no beliano. Aplicaciones de SL (2, R ) , Universitext, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97768-3
- León, Gerard; Vergne, Michele (1980), La representación de Weil, índice de Maslov y serie theta , Progreso en matemáticas, 6 , Boston: Birkhäuser
- Weil, André (1964), "Sur ciertos groupes d'opérateurs unitaires", Acta Math. , 111 : 143–211, doi : 10.1007 / BF02391012
- Gurevich, Shamgar; Hadani, Ronny (2006), "La representación geométrica de Weil", Selecta Mathematica , New Series, arXiv : math / 0610818 , Bibcode : 2006math ..... 10818G
- Gurevich, Shamgar; Hadani, Ronny (2005), Cuantización canónica de espacios vectoriales simplécticos sobre campos finitos , https://arxiv.org/abs/0705.4556Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )