En matemáticas , una mutación , también llamada homótopo , de un álgebra de Jordan unital es una nueva álgebra de Jordan definida por un elemento dado del álgebra de Jordan. La mutación tiene una unidad si y solo si el elemento dado es invertible, en cuyo caso la mutación se llama mutación propia o isótopo . Las mutaciones fueron introducidas por primera vez por Max Koecher en su enfoque algebraico de Jordan de los espacios simétricos hermitianos y los dominios simétricos acotados.de tipo tubo. Sus propiedades funcionales permiten una construcción explícita del correspondiente espacio simétrico hermitiano de tipo compacto como una compactación de un álgebra de Jordan semisimple compleja de dimensión finita. El grupo de automorfismos de la compactación se convierte en un subgrupo complejo , la complejización de su subgrupo compacto máximo . Ambos grupos actúan transitivamente sobre la compactación. La teoría se ha ampliado para cubrir todos los espacios simétricos hermitianos utilizando la teoría de los pares de Jordan o los sistemas triples de Jordan.. Koecher obtuvo los resultados en el caso más general directamente del caso del álgebra de Jordan utilizando el hecho de que solo se requieren pares de Jordan asociados con los automorfismos del período dos de las álgebras de Jordan.
Sea A un álgebra de Jordan unitaria sobre un campo k de característica ≠ 2. [1] Para a en A , defina el operador de multiplicación de Jordan en A por
De ello se deduce que A con las operaciones Q y R y el elemento identidad define un álgebra de Jordan cuadrática , donde un álgebra de Jordan cuadrática consiste en un espacio vectorial A con un elemento distinguido 1 y una función cuadrática de A en endomorfismos de A , a ↦ Q ( a ), cumpliendo las condiciones:
Sea A un álgebra de Jordan cuadrática sobre un campo k de característica ≠ 2. Siguiendo a Jacobson (1969) , una estructura de álgebra de Jordan lineal puede asociarse con A tal que, si L ( a ) es una multiplicación de Jordan, entonces la estructura cuadrática está dada por Q ( un ) = 2 L ( un ) 2 − L ( un 2 ).
La fórmula anterior muestra que 1 es una identidad. Definiendo a 2 por a ∘ a = Q ( a )1, la única condición que queda por verificar es la identidad de Jordan
Sea A un álgebra de Jordan unitaria sobre un campo k de característica ≠ 2. Se dice que un elemento a en un álgebra de Jordan unitaria A es invertible si hay un elemento b tal que ab = 1 y a 2 b = a . [2]