En matemáticas , la complexificación o complexificación universal de un grupo de Lie real viene dada por un homomorfismo continuo del grupo en un grupo de Lie complejo con la propiedad universal de que todo homomorfismo continuo del grupo original en otro grupo de Lie complejo se extiende de manera compatible a una analítica compleja. homomorfismo entre los complejos grupos de Lie. La complexificación, que siempre existe, es única hasta un isomorfismo único . Su álgebra de Lie es un cociente de la complexificacióndel álgebra de Lie del grupo original. Son isomorfos si el grupo original tiene un cociente por un subgrupo normal discreto que es lineal.
Para los grupos de Lie compactos , la complexificación, a veces llamada complexificación de Chevalley en honor a Claude Chevalley , puede definirse como el grupo de caracteres complejos del álgebra de Hopf de funciones representativas , es decir, los coeficientes matriciales de representaciones de dimensión finita del grupo. En cualquier representación unitaria fiel de dimensión finita del grupo compacto se puede realizar concretamente como un subgrupo cerrado del grupo lineal general complejo . Consiste en operadores con descomposición polar g = u • exp iX , donde u es un operador unitario en el grupo compacto y X es un operador sesgado-adjunto en su álgebra de Lie. En este caso, la complexificación es un grupo algebraico complejo y su álgebra de Lie es la complexificación del álgebra de Lie del grupo de Lie compacto.
Complejificación universal
Definición
Si G es un grupo de Lie, una complexificación universal viene dada por un grupo de Lie complejo G C y un homomorfismo continuo φ : G → G C con la propiedad universal de que, si f : G → H es un homomorfismo continuo arbitrario en una Lie compleja grupo H , entonces hay un homomorfismo analítico complejo único F : G C → H tal que f = F ∘ φ .
Las complejizaciones universales siempre existen y son únicas hasta un isomorfismo analítico complejo único (preservando la inclusión del grupo original).
Existencia
Si G está conectado con el álgebra de Lie 𝖌 , entonces su grupo de cobertura universal G simplemente está conectado. Deje G C sea el grupo de Lie complejo simplemente conectado con álgebra de Lie 𝖌 ⊗ C . Sea Φ : G → G C el homomorfismo natural y π : G → G el mapa de cobertura natural. Entonces, dado un homomorfismo f : G → H , existe un homomorfismo analítico complejo único E : G C → H tal que f ∘ π = E ∘ Φ . Sea K la intersección de los núcleos de los homomorfismos E cuando f varía en todas las posibilidades. Entonces K es un subgrupo de Lie complejo normal cerrado de G C y el grupo del cociente es una complexificación universal. En particular, si G está conectado simplemente, su complejización universal es simplemente G C . [1]
Para grupos de Lie no conectados G con componente de identidad G o y grupo de componentes Γ = G / G o , la extensión
induce una extensión
y el grupo de Lie complejo G C es una complejización de G . [2]
Unicidad
La propiedad universal implica que la complexificación universal es única hasta el isomorfismo analítico complejo.
Inyectividad
Si el grupo original es lineal, también lo es la complexificación universal y el homomorfismo entre los dos es una inclusión. [3] Onishchik y Vinberg (1994) dan un ejemplo de un grupo de Lie real conectado para el cual el homomorfismo no es inyectivo incluso en el nivel de álgebra de Lie: toman el producto de T por el grupo de cobertura universal de SL (2, R ) y cociente por el subgrupo cíclico discreto generado por una rotación irracional en el primer factor y un generador del centro en el segundo.
Complexificación de Chevalley
Álgebra de Hopf de coeficientes matriciales
Si G es un grupo de Lie compacto, el * -algebra A de coeficientes de la matriz de representaciones unitarias de dimensión finita es un -subalgebra uniformemente densa * de C ( G ) , la -algebra * de funciones continuas de valor complejo en G . Es, naturalmente, un álgebra de Hopf con multiplicación dada por
Los personajes de A son los -homomorphisms * de A a C . Ellos pueden ser identificados con las evaluaciones de punto f ↦ f ( g ) para g en G y la comultiplication permite a la estructura del grupo de G a ser recuperado. Los homomorfismos de A en C también forman un grupo. Es un grupo de Lie complejo y puede ser identificado con la complejización G C de G . El * -algebra A es generado por los coeficientes de la matriz de cualquier representación fiel σ de G . De ello resulta que σ define una representación analítica compleja fiel de G C . [4]
Teoría invariante
El enfoque original de Chevalley (1946) para la complexificación de un grupo de Lie compacto puede enunciarse de manera concisa dentro del lenguaje de la teoría invariante clásica , descrita en Weyl (1946) . Sea G un subgrupo cerrado del grupo unitario U ( V ) donde V es un espacio de producto interno complejo de dimensión finita. Su álgebra de Lie consiste en todos los operadores adjuntos oblicuos X tales que exp tX se encuentra en G para todo t real . Establezca W = V ⊕ C con la acción trivial de G en el segundo sumando. El grupo G actúa sobre W ⊗ N , con un elemento u actuando como u ⊗ N . El commutant (o álgebra centralizador) se denota por A N = Fin G W ⊗ N . Se genera como -algebra * por sus operadores unitarios y su commutant es la -algebra * abarcado por los operadores u ⊗ N . La complejización G C de G se compone de todos los operadores g en GL ( V ) de tal manera que g ⊗ N conmuta con A N y g actúa trivialmente en el segundo sumando en C . Por definición, es un subgrupo cerrado de GL ( V ) . Las relaciones definitorias (como conmutador) muestran que G es un subgrupo algebraico. Su intersección con U ( V ) coincide con G , ya que es a priori un mayor grupo compacto para los que las representaciones irreducibles permanecen irreducible y no equivalentes cuando restringida a G . Desde A N se genera por unitarios, un invertibles operador g mentiras en G C si el operador unitario u y operador positivo p en su descomposición polar g = u ⋅ p ambos se encuentran en G C . Por lo tanto, u se encuentra en G y el operador p se puede escribir únicamente como p = exp T con T un operador autoadjunto. Por el cálculo funcional para funciones polinómicas se deduce que h ⊗ N mentiras en el commutant de A N si h = exp z T con z en C . En particular, teniendo z puramente imaginario, T debe tener la forma iX con X en el álgebra de Lie de G . Puesto que cada representación de dimensión finita de G se produce como un sumando directo de W ⊗ N , es invariante izquierda por G C y por lo tanto cada representación de dimensión finita de G se extiende únicamente a G C . La extensión es compatible con la descomposición polar. Finalmente, la descomposición polar implica que G es un subgrupo compacto máximo de G C , ya que un subgrupo compacto estrictamente más grande contendría todas las potencias enteras de un operador positivo p , un subgrupo discreto infinito cerrado. [5]
Descomposiciones en la complexificación de Chevalley
Descomposición de Cartan
La descomposición derivada de la descomposición polar.
donde 𝖌 es el álgebra de Lie de G , se llama la descomposición Cartan de G C . El factor exponencial P es invariante bajo la conjugación de G pero no es un subgrupo. La complexificación es invariante cuando se toman adjuntos, ya que G consta de operadores unitarios y P de operadores positivos.
Descomposición de Gauss
La descomposición de Gauss es una generalización de la descomposición LU para el grupo lineal general y una especialización de la descomposición de Bruhat . Para GL ( V ) establece que con respecto a una base ortonormal dada e 1 , ..., e n un elemento g de GL ( V ) se puede factorizar en la forma
con X unidad triangular inferior , Y unidad triangular superior y D diagonal si y solo si todos los principales menores de g no desaparecen. En este caso , X , Y y D se determinan de forma única.
De hecho, la eliminación gaussiana muestra que hay una X única tal que X −1 g es triangular superior. [6]
Las matrices unipotentes superior e inferior, N + y N - , son subgrupos unipotentes cerrados de GL ( V ). Sus álgebras de Lie consisten en matrices estrictamente triangulares superior e inferior. El mapeo exponencial es un mapeo polinomial del álgebra de Lie al subgrupo correspondiente por nilpotencia. La inversa viene dada por el mapeo de logaritmos que por unipotencia es también un mapeo polinomial. En particular, existe una correspondencia entre subgrupos conectados cerrados de N ± y subálgebras de sus álgebras de Lie. El mapa exponencial está en cada caso, ya que la función polinomial log ( e A e B ) se encuentra en una subálgebra de Lie dada si A y B lo hacen y son lo suficientemente pequeños. [7]
La descomposición de Gauss se puede extender a las complejizaciones de otros subgrupos conectados cerrados G de U ( V ) usando la descomposición de la raíz para escribir el álgebra de Lie compleja como [8]
donde 𝖙 es el álgebra de Lie de un toro máximo T de G y 𝖓 ± son la suma directa de los correspondientes espacios de raíces positivas y negativas. En la descomposición del espacio de peso de V como espacios propios de T , 𝖙 actúa como diagonalmente, 𝖓 + actúa como operadores de descenso y 𝖓 - como operadores de elevación. 𝖓 ± son álgebras de Lie nilpotentes que actúan como operadores nilpotentes; que son los adjuntos de cada uno de V . En particular, T actúa por conjugación de 𝖓 + , de modo que 𝖙 C ⊕ 𝖓 + es un producto semidirecto de un álgebra de Lie nilpotente por un álgebra de Lie abeliana.
Según el teorema de Engel , si 𝖆 ⊕ 𝖓 es un producto semidirecto, con 𝖆 abeliano y 𝖓 nilpotente, actuando sobre un espacio vectorial de dimensión finita W con operadores en 𝖆 diagonalizable y operadores en 𝖓 nilpotente, hay un vector w que es un vector propio para 𝖆 y es aniquilado por 𝖓 . De hecho, basta con mostrar que hay un vector aniquilado por 𝖓 , que sigue por inducción en dim 𝖓 , ya que el álgebra derivada 𝖓 ' aniquila un subespacio de vectores distinto de cero en el que 𝖓 / 𝖓' y 𝖆 actúan con las mismas hipótesis .
Aplicar este argumento repetidamente a 𝖙 C ⊕ 𝖓 + muestra que hay una base ortonormal e 1 , ..., e n de V que consta de vectores propios de 𝖙 C con 𝖓 + actuando como matrices triangulares superiores con ceros en la diagonal.
Si N ± y T C son los grupos complejos de Lie correspondientes a 𝖓 + y 𝖙 C , entonces la descomposición de Gauss establece que el subconjunto
es un producto directo y consta de los elementos en G C para los cuales los menores principales no desaparecen. Es abierto y denso. Además, si T denota el toro máximo en U ( V ) ,
Estos resultados son una consecuencia inmediata de los resultados correspondientes para GL ( V ) . [9]
Descomposición de Bruhat
Si W = N G ( T ) / T denota el grupo Weyl de T y B denota el subgrupo Borel T C N + , la descomposición de Gauss también es una consecuencia de la descomposición de Bruhat más precisa
descomposición G C en una unión disjunta de dobles clases laterales de B . La dimensión complejo de un doble clase lateral BσB se determina por la longitud de σ como un elemento de W . La dimensión se maximiza en el elemento Coxeter y proporciona la exclusiva doble ventana densa abierta. Sus conjugados inversa B en el subgrupo Borel de menores matrices triangulares en G C . [10]
La descomposición de Bruhat es fácil de probar para SL ( n , C ) . [11] Sea B el subgrupo de Borel de matrices triangulares superiores y T C el subgrupo de matrices diagonales. Entonces N ( T C ) / T C = S n . Para g en SL ( n , C ) , tome b en B de modo que bg maximice el número de ceros que aparecen al comienzo de sus filas. Debido a que se puede agregar un múltiplo de una fila a otra, cada fila tiene un número diferente de ceros. Multiplicando por una matriz w en N ( T C ) , se deduce que GBM mentiras en B . Para la unicidad, si w 1 b w 2 = b 0 , entonces las entradas de w 1 w 2 desaparecen debajo de la diagonal. Por tanto, el producto se encuentra en T C , demostrando singularidad.
Chevalley (1955) demostró que la expresión de un elemento g como g = b 1 σb 2 se vuelve única si b 1 se restringe a pertenecer al subgrupo triangular unitario superior N σ = N + ∩ σ N - σ −1 . De hecho, si M σ = N + ∩ σ N + σ −1 , esto se sigue de la identidad
El grupo N + tiene una filtración natural por subgrupos normales N + ( k ) con ceros en las primeras k - 1 superdiagonales y los cocientes sucesivos son abelianos. Al definir N σ ( k ) y M σ ( k ) como las intersecciones con N + ( k ) , se deduce de la inducción decreciente en k que N + ( k ) = N σ ( k ) ⋅ M σ ( k ) . De hecho, N σ ( k ) N + ( k + 1) y M σ ( k ) N + ( k + 1) se especifican en N + ( k ) por la desaparición de las entradas complementarias ( i , j ) en el k th superdiagonal según si σ conserva el orden i < j o no. [12]
La descomposición de Bruhat para los otros grupos simples clásicos se puede deducir de la descomposición anterior usando el hecho de que son subgrupos de punto fijo de automorfismos de plegamiento de SL ( n , C ) . [13] Para Sp ( n , C ) , sea J la matriz n × n con 1 en la antidiagonal y 0 en otra parte y establezca
Entonces Sp ( n , C ) es el subgrupo de punto fijo de la involución θ ( g ) = A ( g t ) −1 A −1 de SL (2 n , C ) . Deja invariantes los subgrupos N ± , T C y B. Si los elementos base están indexados por n , n −1, ..., 1, −1, ..., - n , entonces el grupo de Weyl de Sp ( n , C ) consiste en σ que satisface σ ( j ) = - j , es decir, desplazarse con θ . Los análogos de B , T C y N ± se definen por la intersección con Sp ( n , C ) , es decir, como puntos fijos de θ . La unicidad de la descomposición g = nσb = θ ( n ) θ ( σ ) θ ( b ) implica la descomposición de Bruhat para Sp ( n , C ) .
El mismo argumento funciona para SO ( n , C ) . Puede ser realizado como los puntos fijos de ψ ( g ) = B ( g t ) -1 B -1 en SL ( n , C ) donde B = J .
Descomposición de Iwasawa
La descomposición de Iwasawa
da una descomposición para G C para el cual, a diferencia de la descomposición Cartan, el factor directo A ⋅ N es un subgrupo cerrado, pero es invariante ya no está bajo la conjugación por G . Es el producto semidirecto de la nilpotent subgrupo N por el subgrupo abeliano A .
Para U ( V ) y su complexificación GL ( V ) , esta descomposición puede derivarse como una reformulación del proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt . [14]
De hecho, sea e 1 , ..., e n una base ortonormal de V y sea g un elemento en GL ( V ) . Aplicando el proceso de Gram-Schmidt a ge 1 , ..., ge n , existe una base ortonormal única f 1 , ..., f n y constantes positivas a i tales que
Si k es la toma unitaria de ( e i ) a ( f i ) , se deduce que g −1 k se encuentra en el subgrupo AN , donde A es el subgrupo de matrices diagonales positivas con respecto a ( e i ) y N es el subgrupo de matrices triangulares unitarias superiores . [15]
Usando la notación para la descomposición de Gauss, los subgrupos en la descomposición de Iwasawa para G C están definidos por [16]
Dado que la descomposición es directa para GL ( V ) , basta con comprobar que G C = GAN . De las propiedades de la descomposición de Iwasawa para GL ( V ) , el mapa G × A × N es un difeomorfismo en su imagen en G C , que está cerrado. Por otro lado, la dimensión de la imagen es la misma que la dimensión de G C , por lo que también está abierta. Entonces G C = GAN porque G C está conectado. [17]
Zhelobenko (1973) proporciona un método para calcular explícitamente los elementos de la descomposición. [18] Para g en G C, establezca h = g * g . Este es un operador autoadjunto positivo para que sus principales menores no desaparezcan. Por la descomposición de Gauss, por lo tanto, se puede escribir unívocamente en la forma h = XDY con X en N - , D en T C e Y en N + . Dado que h es autoadjunta, la unicidad fuerza a Y = X * . Dado que también es positivo, D debe estar en A y tener la forma D = exp iT para algún T único en 𝖙 . Permiten a = exp iT / 2 sea su raíz cuadrada única en una . Establezca n = Y y k = g n −1 a −1 . Entonces k es unitario, también lo es en G , y g = kan .
Estructuras complejas en espacios homogéneos
La descomposición Iwasawa puede utilizarse para describir estructuras de complejos en el G - órbita es en espacio proyectivo complejo de vectores de ponderación más altos de dimensión finita representaciones irreducibles de G . En particular, la identificación entre G / T y G C / B se puede utilizar para formular el teorema de Borel-Weil . Se establece que cada representación irreducible de G puede obtenerse por inducción holomorphic de un personaje de T , o de forma equivalente que se realiza en el espacio de secciones de una línea paquete holomorphic en G / T .
Los subgrupos conectados cerrados de G que contienen T están descritos por la teoría de Borel-de Siebenthal . Son exactamente los centralizadores de toros S ⊆ T . Dado que cada toro es generado topológicamente por un solo elemento x , estos son los mismos que los centralizadores C G ( X ) de los elementos X en 𝖙 . Por un resultado de Hopf C G ( x ) siempre está conectado: de hecho, cualquier elemento y está junto con S contenido en algún toro máximo, necesariamente contenido en C G ( x ) .
Dada una dimensión finita irreducible representación V λ con la más alta vector de peso v de peso λ , el estabilizador de C v en G es un subgrupo cerrado H . Desde v es un vector propio de T , H contiene T . La complejización G C también actúa en V y el estabilizador es un cerrado complejo subgrupo P que contiene T C . Dado que v es aniquilado por cada operador de elevación correspondiente a una raíz positiva α , P contiene el subgrupo B de Borel . El vector v también es un vector de peso más alto para la copia de sl 2 correspondiente a α , por lo que es aniquilado por el operador de descenso que genera 𝖌 - α si ( λ , α ) = 0 . El álgebra de Lie p de P es la suma directa de 𝖙 C y los vectores del espacio raíz que aniquilan v , de modo que
El álgebra de Lie de H = P ∩ G viene dada por p ∩ 𝖌 . Por la descomposición de Iwasawa G C = GAN . Dado que AN fija C v , la órbita G de v en el espacio proyectivo complejo de V λ coincide con la órbita G C y
En particular
Usando la identificación del álgebra de Lie de T con su dual, H es igual al centralizador de λ en G , y por lo tanto está conectado. El grupo P también está conectado. De hecho, el espacio G / H se conecta simplemente, ya que puede ser escrito como el cociente de la (compacto) grupo recubrimiento universal del grupo semisimple compacto G / Z por un subgrupo conectado, donde Z es el centro de G . [19] Si P o es el componente de identidad de P , G C / P tiene G C / P o como espacio de cobertura, de modo que P = P o . El espacio homogéneo G C / P tiene una estructura compleja, porque P es un subgrupo complejo. La órbita en el espacio proyectivo complejo está cerrada en la topología de Zariski por el teorema de Chow , por lo que es una variedad proyectiva suave. El teorema de Borel-Weil y sus generalizaciones se discuten en este contexto en Serre (1954) , Helgason (1994) , Duistermaat & Kolk (2000) y Sepanski (2007) .
El subgrupo parabólico P también se puede escribir como una unión de clases dobles de B
donde W λ es el estabilizador de λ en el grupo W de Weyl . Es generado por las reflexiones correspondientes a las raíces simples ortogonales a λ . [20]
Formas reales no compactas
Hay otros subgrupos cerrados de la complexificación de un grupo de Lie compacto conectado G que tienen el mismo álgebra de Lie complexificada. Estas son las otras formas reales de G C . [21]
Involuciones de grupos de Lie compactos simplemente conectados
Si G es un grupo de Lie compacto simplemente conectado y σ es un automorfismo del período 2, entonces el subgrupo de punto fijo K = G σ se conecta automáticamente . (De hecho, esto es cierto para cualquier automorfismo de G , como lo muestra Steinberg y, en general, Borel para los automorfismos internos ). [22]
Esto se puede ver más directamente cuando la involución σ corresponde a un espacio simétrico hermitiano . En ese caso, σ es interno y está implementado por un elemento en un subgrupo de un parámetro exp tT contenido en el centro de G σ . La interioridad de σ implica que K contiene un toro máximo de G , por lo que tiene rango máximo. Por otro lado, el centralizador del subgrupo generado por el toro S de elementos exp tT está conectado, ya que si x es cualquier elemento en K hay un máximo torus que contienen x y S , que se encuentra en el centralizador. Por otro lado, contiene K desde S es central en K y está contenido en K desde z mentiras en S . Entonces, K es el centralizador de S y, por lo tanto, está conectado. En particular K contiene el centro de G . [23]
Para una involución general σ, la conectividad de G σ se puede ver de la siguiente manera. [24]
El punto de partida es la versión abeliana del resultado: si T es un toro máximo de un grupo G simplemente conectado y σ es una involución que deja invariante T y una elección de raíces positivas (o equivalentemente una cámara Weyl ), entonces el subgrupo de punto fijo T σ está conectado. De hecho, el núcleo del mapa exponencial desobre T es una red Λ con una base Z indexada por raíces simples, que σ permuta. Dividiendo según las órbitas, T se puede escribir como un producto de los términos T en los que σ actúa trivialmente o términos T 2 donde σ intercambia los factores. El subgrupo de punto fijo solo corresponde a tomar los subgrupos diagonales en el segundo caso, por lo que está conectado.
Ahora sea x cualquier elemento fijo por σ, sea S un toro máximo en C G ( x ) σ y sea T el componente identidad de C G ( x , S ). Entonces T es un toro máxima en G que contiene x y S . Es invariante bajo σ y el componente de la identidad de T σ es S . De hecho, desde x y S conmute, que están contenidos en un torus máximas que, debido a que está conectado, debe estar en T . Por construcción, T es invariante bajo σ. El componente de la identidad de T σ contiene S , se encuentra en C G ( x ) σ y centraliza S , por lo que es igual a S . Pero S es central en T , para T debe ser abeliano y, por lo tanto, un toro máximo. Para σ actúa como una multiplicación por −1 en el álgebra de Lie, por lo que y por lo tanto también son abelianos.
La prueba se ha completado, mostrando que conserva sigma una cámara de Weyl asociada con T . Para entonces T σ está conectado de modo debe ser igual a S . Por lo tanto x mentiras en S . Dado que x era arbitrario, G σ debe conectarse.
Para producir una cámara de Weyl invariante bajo σ, tenga en cuenta que no hay espacio de raíz en la que tanto x y S actuaron trivialmente, para este estaría en contradicción con el hecho de que C G ( x , S ) tiene el mismo álgebra de Lie como T . Por tanto, debe haber un elemento s en S tal que t = xs actúe de forma no trivial en cada espacio raíz. En este caso t es un elemento habitual de T -el componente de identidad de su centralizador en G es igual a T . Hay una alcoba A Weyl única entales que t mentiras en exp A y 0 se encuentra en el cierre de A . Dado que t está fijado por σ, el nicho se deja invariante por σ y, por lo tanto, también lo es la cámara de Weyl C que lo contiene.
Conjugaciones sobre la complexificación
Deje G un grupo de Lie compacto simplemente conectado con complejización G C . El mapa c ( g ) = ( g *) −1 define un automorfismo de G C como un grupo de Lie real con G como subgrupo de punto fijo. Es conjugado-lineal eny satisface c 2 = id. Tales automorfismos de G C ose llaman conjugaciones . Dado que G C también está simplemente conectado cualquier conjugación c 1 encorresponde a un automorphism único c 1 de G C .
La clasificación de conjugaciones c 0 se reduce a la de involuciones σ de G porque dado a c 1 hay un automorfismo φ del grupo complejo G C tal que
conmuta con c . La conjugación c 0 deja G invariante y se restringe a un automorfismo involutivo σ. Por simple conectividad, lo mismo ocurre al nivel de las álgebras de Lie. En el álgebra de Lie, el nivel c 0 se puede recuperar de σ mediante la fórmula
para X , Y en.
Para demostrar la existencia de φ dejar ψ = c 1 c un automorfismo del grupo del complejo G C . En el nivel de álgebra de Lie, define un operador autoadjunto para el producto interno complejo
donde B es la forma de matar en. Así, ψ 2 es un operador positivo y un automorfismo junto con todas sus potencias reales. En particular, toma
Satisface
Descomposición de Cartan en forma real
Para la complexificación G C , la descomposición de Cartan se describe anteriormente. Derivado de la descomposición polar en el grupo lineal general complejo , da un difeomorfismo
En G C hay un operador de conjugación c correspondiente a G así como una involución σ que conmuta con c . Sea c 0 = c σ y sea G 0 el subgrupo de coma fija de c . Está cerrado en el grupo de matriz G C y, por lo tanto, es un grupo de Lie. La involución σ actúa tanto en G como en G 0 . Para el álgebra de Lie de G hay una descomposición
en los espacios propios +1 y -1 de σ. El subgrupo de punto fijo K de σ en G está conectado ya que G simplemente está conectado. Su álgebra de Lie es el espacio propio +1. El álgebra de Lie de G 0 viene dada por
y el punto subgrupo fijo de σ es de nuevo K , de modo que G ∩ G 0 = K . En G 0 , hay una descomposición de Cartan
que es de nuevo un difeomorfismo sobre el directo y corresponde a la descomposición polar de matrices. Es la restricción de la descomposición en G C . El producto da un difeomorfismo en un subconjunto cerrado de G 0 . Para comprobar que es sobreyectiva, por g en G 0 escritura g = u ⋅ p con u en G y p en P . Dado que c 0 g = g , la unicidad implica que σ u = u y σ p = p −1 . Por lo tanto u radica en K y p en P 0 .
La descomposición de Cartan en G 0 muestra que G 0 está conectado, simplemente conectado y no compacto, debido al factor directo P 0 . Por tanto, G 0 es un grupo de Lie semisimple real no compacto. [25]
Además, dada una subálgebra abeliana máxima en , A = expes un subgrupo toral tal que σ ( a ) = a −1 en A ; y dos cualesquiera's son conjugado por un elemento de K . Las propiedades de A se pueden mostrar directamente. A está cerrado porque el cierre de A es un subgrupo toral que satisface σ ( a ) = a −1 , por lo que su álgebra de Lie se encuentra en y por lo tanto es igual por maximalidad. A puede ser generado topológicamente por un solo elemento exp X , por lo quees el centralizador de X en. En la órbita K de cualquier elemento dehay un elemento Y tal que (X, Ad k Y) se minimiza en k = 1. Estableciendo k = exp tT con T en, se sigue que ( X , [ T , Y ]) = 0 y, por tanto, [ X , Y ] = 0, de modo que Y debe estar en. Por lo tanto es la unión de los conjugados de . En particular, algún conjugado de X se encuentra en cualquier otra elección de, que centraliza ese conjugado; así que por maximalidad las únicas posibilidades son conjugados de. [26]
Unas afirmaciones similares son válidas para la acción de K sobre en . Además, de la descomposición de Cartan para G 0 , si A 0 = exp, luego
Descomposición de Iwasawa en forma real
Ver también
- Forma real (teoría de la mentira)
Notas
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Referencias
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