En álgebra , un sistema triple (o ternar ) es un espacio vectorial V sobre un campo F junto con un mapa F -trilineal
Los ejemplos más importantes son los sistemas triples Lie y los sistemas triples Jordan . Fueron introducidos por Nathan Jacobson en 1949 para estudiar subespacios de álgebras asociativas cerrados bajo conmutadores triples [[ u , v ], w ] y anticonmutadores triples { u , { v , w }}. En particular, cualquier álgebra de Lie define un sistema triple de Lie y cualquier álgebra de Jordan define un sistema triple de Jordan. Son importantes en las teorías de los espacios simétricos , particularmente los espacios simétricos hermitianos y sus generalizaciones ( espacios R simétricos y sus duales no compactos).
Sistemas triples de mentiras
Se dice que un sistema triple es un sistema triple de Lie si el mapa trilineal, denotado, satisface las siguientes identidades:
Las dos primeras identidades abstraen la simetría sesgada y la identidad de Jacobi para el conmutador triple, mientras que la tercera identidad significa que el mapa lineal L u , v : V → V , definido por L u , v ( w ) = [ u , v , w ], es una derivación del producto triple. La identidad también muestra que el espacio k = span {L u , v : u , v ∈ V } está cerrado bajo el corchete del conmutador, por lo tanto, un álgebra de Lie.
Escribiendo m en lugar de V , se sigue que
se puede convertir en un -algebra de Lie graduada, la incrustación estándar de m , con corchete
La descomposición de g es claramente una descomposición simétrica para este soporte de la mentira, y por lo tanto si G es un grupo de Lie conexo con álgebra de Lie g y K es un subgrupo con álgebra de Lie k , entonces G / K es un espacio simétrico .
A la inversa, dada un álgebra de Lie g con tal descomposición simétrica (es decir, es el álgebra de Lie de un espacio simétrico), el corchete triple [[ u , v ], w ] convierte m en un sistema triple de Lie.
Jordan triple sistemas
Se dice que un sistema triple es un sistema triple de Jordan si el mapa trilineal, denotado {.,.,.}, Satisface las siguientes identidades:
La primera identidad abstrae la simetría del anticonmutador triple, mientras que la segunda identidad significa que si L u , v : V → V está definido por L u , v ( y ) = { u , v , y } entonces
de modo que el espacio de los mapas lineales abarcan {L u , v : u , v ∈ V } está cerrado bajo el soporte del conmutador, y por lo tanto es un álgebra de Lie g 0 .
Cualquier sistema triple de Jordan es un sistema triple de Lie con respecto al producto
Se dice que un sistema triple de Jordan es positivo definido (resp. No degenerado ) si la forma bilineal en V definida por la traza de L u , v es positivo definido (resp. No degenerado). En cualquier caso, hay una identificación de V con su espacio dual y una involución correspondiente en g 0 . Inducen una involución de
que en el caso positivo definido es una involución de Cartan. El espacio simétrico correspondiente es un espacio R simétrico . Tiene un dual no compacto dado al reemplazar la involución de Cartan por su compuesto con la involución igual a +1 en g 0 y −1 en V y V * . Un caso especial de esta construcción surge cuando g 0 conservas una estructura compleja en V . En este caso obtenemos espacios simétricos hermitianos duales de tipo compacto y no compacto (siendo estos últimos dominios simétricos acotados ).
Par jordan
Un par de Jordan es una generalización de un sistema triple de Jordan que involucra dos espacios vectoriales V + y V - . El mapa trilineal luego se reemplaza por un par de mapas trilineales
que a menudo se ven como mapas cuadráticos V + → Hom ( V - , V + ) y V - → Hom ( V + , V - ). El otro axioma de Jordan (aparte de la simetría) también se reemplaza por dos axiomas, uno de los cuales es
y el otro es el análogo con los subíndices + y - intercambiados.
Al igual que en el caso de los sistemas triples de Jordan, se puede definir, por u en V - y V de V + una aplicación lineal,
y de manera similar L - . Los axiomas de Jordan (aparte de la simetría) pueden entonces escribirse
lo que implica que las imágenes de L + y L - están cerradas bajo paréntesis del conmutador en End ( V + ) y End ( V - ). Juntos determinan un mapa lineal
cuya imagen es una subálgebra de mentira , y las identidades de Jordan se convierten en identidades de Jacobi para un corchete de Lie graduado en
de modo que a la inversa, si
es un álgebra de mentira graduada, entonces el par es un par de Jordan, con corchetes
Los sistemas triples de Jordan son pares de Jordan con V + = V - y mapas trilineales iguales. Otro caso importante ocurre cuando V + y V - son duales entre sí, con mapas trilineales duales determinados por un elemento de
Estos surgen en particular cuando arriba es semisimple, cuando la forma Killing proporciona una dualidad entre y .
Ver también
Referencias
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