En matemáticas , el teorema de topología algebraica de Seifert-Van Kampen (llamado así por Herbert Seifert y Egbert van Kampen ), a veces llamado simplemente teorema de Van Kampen , expresa la estructura del grupo fundamental de un espacio topológico en términos de los grupos fundamentales de dos subespacios abiertos conectados por caminos que cubren. Por lo tanto, se puede utilizar para cálculos del grupo fundamental de espacios que se construyen a partir de otros más simples.
Teorema de Van Kampen para grupos fundamentales
Sea X un espacio topológico que es la unión de dos subespacios abiertos y conectados por caminos U 1 , U 2 . Suponga que U 1 ∩ U 2 está conectado a una ruta y no está vacío, y sea x 0 un punto en U 1 ∩ U 2 que se usará como la base de todos los grupos fundamentales. Los mapas de inclusión de U 1 y U 2 en X inducen homomorfismos de grupo y . Entonces X es la ruta conectada y y Forme un diagrama de expulsión conmutativo :
El morfismo natural k es un isomorfismo. Es decir, el grupo fundamental de X es el producto libre de los grupos fundamentales de U 1 y U 2 con la fusión de. [1]
Por lo general, los morfismos inducidos por la inclusión en este teorema no son en sí mismos inyectivos, y la versión más precisa del enunciado es en términos de expulsiones de grupos.
Teorema de Van Kampen para grupos fundamentales
Desafortunadamente, el teorema dado anteriormente no calcula el grupo fundamental del círculo, que es el ejemplo básico más importante en topología algebraica. La razón es que el círculo no se puede realizar como la unión de dos conjuntos abiertos con intersección conectada. Este problema se puede resolver trabajando con el grupoide fundamental sobre un conjunto A de puntos base, elegidos según la geometría de la situación. Por tanto, para el círculo, se utilizan dos puntos de base. [2]
Este groupoid consiste en clases de homotopía relativos a los puntos finales de caminos en X que une los puntos de A ∩ X . En particular, si X es un espacio contráctil y A consta de dos puntos distintos de X , entonces se ve fácilmente como isomorfo al grupoide que a menudo se escribe con dos vértices y exactamente un morfismo entre dos vértices cualesquiera. Este grupoide juega un papel en la teoría de grupos análogos al del grupo de enteros en la teoría de grupos. [3] El grupoidetambién permite a los groupoids una noción de homotopía: es un objeto de intervalo unitario en la categoría de groupoids.
La categoría de grupoides admite todos los colimits y, en particular, todos los pushouts.
- Teorema. Deje que el espacio topológico X esté cubierto por los interiores de dos subespacios X 1 , X 2 y sea A un conjunto que se encuentra con cada componente de trayectoria de X 1 , X 2 y X 0 = X 1 ∩ X 2 . Entonces A se encuentra con cada componente de la trayectoria de X y el diagrama P de morfismos inducidos por inclusión
- es un diagrama pushout en la categoría de grupoides. [4]
Este teorema da la transición de la topología al álgebra, al determinar completamente el grupoide fundamental ; entonces uno tiene que usar álgebra y combinatoria para determinar un grupo fundamental en algún punto base.
Una interpretación del teorema es que calcula los tipos 1 de homotopía. Para ver su utilidad, se pueden encontrar fácilmente casos en los que X está conectado pero es la unión de los interiores de dos subespacios, cada uno con, por ejemplo, 402 componentes de trayectoria y cuya intersección tiene, por ejemplo, 1004 componentes de trayectoria. La interpretación de este teorema como una herramienta de cálculo para "grupos fundamentales" necesita cierto desarrollo de la "teoría combinatoria grupoide". [5] [6] Este teorema implica el cálculo del grupo fundamental del círculo como el grupo de enteros, ya que el grupo de enteros se obtiene del grupoide identificando, en la categoría de grupoides, sus dos vértices.
Existe una versión del último teorema cuando X está cubierto por la unión de los interiores de una familiade subconjuntos. [7] [8]
La conclusión es que si A se encuentra con cada componente de la trayectoria de todas las intersecciones de 1,2,3 veces de los conjuntos, entonces A se encuentra con todos los componentes de la trayectoria de X y el diagrama
de morfismos inducidos por inclusiones es un coequalizador en la categoría de los grupoides.
[...] la gente aún persiste obstinadamente, al calcular con grupos fundamentales, en fijar un único punto base, en lugar de elegir hábilmente todo un paquete de puntos que es invariable bajo las simetrías de la situación, que así se pierden en el camino. En determinadas situaciones (como los teoremas de descendencia para grupos fundamentales a la de Van Kampen) es mucho más elegante, incluso indispensable para comprender algo, trabajar con agrupaciones fundamentales con respecto a un paquete adecuado de puntos base [...]
Formulaciones equivalentes
En el lenguaje de la teoría combinatoria de grupos , si es un espacio topológico; y son subespacios abiertos, conectados por caminos de ; no está vacío y conectado a un camino; y; luegoes el producto gratuito con la fusión de y , con respecto a los homomorfismos (no necesariamente inyectivos) y . Presentaciones grupales dadas :
la fusión se puede presentar [9] como
En la teoría de categorías ,es el pushout , en la categoría de grupos, del diagrama:
Ejemplos de
2 esferas
Se puede usar el teorema de Van Kampen para calcular grupos fundamentales para espacios topológicos que se pueden descomponer en espacios más simples. Por ejemplo, considere la esfera. Elija conjuntos abiertos y donde n y s denotan los polos norte y sur, respectivamente. Entonces tenemos la propiedad de que A , B y A ∩ B son conjuntos conectados de camino abierto. Por lo tanto, podemos ver que hay un diagrama conmutativo que incluye A ∩ B en A y B y luego otra inclusión de A y B eny que existe un diagrama correspondiente de homomorfismos entre los grupos fundamentales de cada subespacio. La aplicación del teorema de Van Kampen da el resultado
Sin embargo, A y B son ambos homeomorfo a R 2 que está conectado simplemente, por lo tanto A y B tienen grupos fundamentales triviales. De esto se desprende que el grupo fundamental de es trivial.
Suma de espacios en cuña
Dados dos espacios puntiagudos y podemos formar su suma de cuña ,, tomando el cociente de identificando sus dos puntos base.
Si admite un barrio abierto contractible y admite un barrio abierto contractible (que es el caso si, por ejemplo, y son complejos CW ), entonces podemos aplicar el teorema de Van Kampen a tomando y como los dos conjuntos abiertos y concluimos que el grupo fundamental de la cuña es el producto libre de los grupos fundamentales de los dos espacios con los que partimos:
- .
Superficies orientables del género g
Un ejemplo más complicado es el cálculo del grupo fundamental de una superficie orientable del género n S , también conocido como el grupo de superficie del género n . Se puede construir S usando su polígono fundamental estándar . Para el primer conjunto abierto A , elija un disco dentro del centro del polígono. Escoja B a ser el complemento en S del punto central de A . Entonces, la intersección de A y B es un anillo, que se sabe que es homotopía equivalente a (y por lo tanto tiene el mismo grupo fundamental que) un círculo. Luego, que son los números enteros, y . Así, la inclusión de dentro envía cualquier generador al elemento trivial. Sin embargo, la inclusión de dentro no es trivial. Para entender esto, primero hay que calcular. Esto se hace fácilmente ya que se puede retraer la deformación B (que es S con un punto eliminado) en los bordes etiquetados por
Se sabe que este espacio es la suma en cuña de 2 n círculos (también llamado ramo de círculos ), que además se sabe que tiene un grupo fundamental isomorfo al grupo libre con 2 n generadores, que en este caso se puede representar por los bordes ellos mismos:. Ahora tenemos suficiente información para aplicar el teorema de Van Kampen. Los generadores son los bucles( A está simplemente conectado, por lo que no aporta generadores) y hay exactamente una relación:
Usando generadores y relaciones, este grupo se denota
Conectividad simple
Si X es el espacio que se puede escribir como la unión de dos abiertos simplemente conectados conjuntos U y V con U ∩ V no vacío y conectado path- , entonces X está conectado simplemente. [10]
Generalizaciones
Como se explicó anteriormente, este teorema fue extendido por Ronald Brown al caso no conectado usando el grupoide fundamentalen un conjunto A de puntos base. El teorema de las cubiertas arbitrarias, con la restricción de que A se encuentra con las tres intersecciones de los conjuntos de la cubierta, se da en el artículo de Brown y Abdul Razak Salleh. [11] El teorema y la demostración del grupo fundamental, pero utilizando algunos métodos grupales, también se dan en el libro de J. Peter May . [12] La versión que permite más de dos conjuntos superpuestos pero con A un singleton también se da en el libro de Allen Hatcher a continuación, teorema 1.20.
En el libro de Ronald Brown se dan aplicaciones del grupoide fundamental en un conjunto de puntos base al teorema de la curva de Jordan , cubriendo espacios y espacios orbitales . [13] En el caso de los espacios orbitales, conviene tomar A para incluir todos los puntos fijos de la acción. Un ejemplo aquí es la acción de conjugación en el círculo.
Las referencias a versiones de dimensiones superiores del teorema que proporcionan cierta información sobre tipos de homotopía se dan en un artículo sobre teorías de grupos de dimensiones superiores y grupoides. [14] Así, Ronald Brown y Philip J. Higgins dieron un teorema bidimensional de Van Kampen que calcula segundos grupos de homotopía relativa no belianos. [15] Brown, Higgins y Rafael Sivera dan una descripción completa y extensiones a todas las dimensiones, [16] mientras que Ronald Brown y Jean-Louis Loday dan una extensión a n -cubos de espacios . [17]
Los grupos fundamentales también aparecen en geometría algebraica y son el tema principal del primer Séminaire de géométrie algébrique (SGA1) de Alexander Grothendieck . Allí aparece una versión del teorema de Van Kampen, y se demuestra en líneas muy diferentes a las de la topología algebraica, a saber, mediante la teoría de la descendencia. Una prueba similar funciona en topología algebraica. [18]
Ver también
- Álgebra de dimensiones superiores
- Teoría de categorías superiores
- Pseudocírculo
- Ronald Brown (matemático)
Notas
- ^ 1950-, Lee, John M. (2011). Introducción a las variedades topológicas (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1441979391. OCLC 697506452 .CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )pág. 252, Teorema 10.1.
- ^ http://planetmath.org/vankampenstheorem R. Brown, Groupoids y el teorema de Van Kampen, Proc. London Math. Soc . (3) 17 (1967) 385–401.
- ^ Ronald Brown. "Groupoids en Matemáticas". http://groupoids.org.uk/gpdsweb.html
- ^ R. Brown. Topología y Groupoids. , Booksurge PLC (2006). http://groupoids.org.uk/topgpds.html
- ^ http://planetmath.org/?method=src&from=objects&name=VanKampensTheorem&op=getobj PJ Higgins, Categorías y Groupoids , Van Nostrand, 1971, Reimpresiones de teoría y aplicaciones de categorías, No. 7 (2005), págs. 1-195 .
- ^ R. Brown, Topología y Groupoids. , Booksurge PLC (2006).
- ^ Ronald Brown, Philip J. Higgins y Rafael Sivera. Topología algebraica no beliana: espacios filtrados, complejos cruzados, groupoides homotópicos cúbicos , Tratados de la Sociedad Matemática Europea vol 15, agosto de 2011.
- ^ Teoremas de Van Kampen generalizados de dimensiones superiores (HD-GVKT) http://planetphysics.org/encyclopedia/HDGvKTVanKampenTheorems.html
- ^ 1950-, Lee, John M. (2011). Introducción a las variedades topológicas (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1441979391. OCLC 697506452 .CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )pág. 253, Teorema 10.3.
- ^ Greenberg y Harper 1981
- ^ Brown, Ronald y Razak Salleh, Abdul, "Un teorema de Van Kampen para uniones de espacios no conectados". Archiv der Mathematik (Basilea) 42 (1984), no. 1, 85–88.
- ^ Mayo, J. Peter, "Una introducción concisa a la topología algebraica", capítulo 2, (1999)
- ^ Brown, Ronald, "Topología y grupos", Booksurge, (2006)
- ^ Ronald Brown. "Teoría de grupos de mayor dimensión". 2007. http://www.bangor.ac.uk/~mas010/hdaweb2.htm
- ^ Brown, Ronald y Higgins, Philip J. "Sobre la conexión entre los segundos grupos de homotopía relativa de algunos espacios relacionados", Actas de la London Mathematical Society (3) 36 (1978), 193-212.
- ^ Brown, Ronald, Higgins, Philip J. y Sivera, Rafael, "Topología algebraica no beliana: espacios filtrados, complejos cruzados, groupoids de homotopía cúbica", EMS Tracts in Mathematics vol 15, 20011. http://groupoids.org.uk /nonab-at.html
- ^ Brown, Ronald y Loday, Jean-Louis, "Teoremas de Van Kampen para diagramas de espacios , Topología 26 (1987), 311-334.
- ^ Douady, Adrien y Douady, Régine, "Algèbre et théories galoisiennes", Cassini (2005)
Referencias
- Allen Hatcher, topología algebraica. (2002) Cambridge University Press, Cambridge, xii + 544 págs. ISBN 0-521-79160-X y ISBN 0-521-79540-0
- Peter May, un curso conciso en topología algebraica. (1999) Prensa de la Universidad de Chicago, ISBN 0-226-51183-9 (la Sección 2.7 proporciona una presentación teórica de categorías del teorema como un colimit en la categoría de grupoides) .
- Ronald Brown, Groupoids y el teorema de Van Kampen, Proc. London Math. Soc . (3) 17 (1967) 385–401.
- Discusión de Mathoverflow en muchos puntos base
- Ronald Brown, Topología y agrupaciones (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8
- R. Brown y A. Razak, Un teorema de Van Kampen para uniones de espacios no conectados, Archiv. Matemáticas. 42 (1984) 85–88. (Este artículo da probablemente la versión óptima del teorema, es decir, la versión grupoide del teorema para una cubierta abierta arbitraria y un conjunto de puntos base que cumple con cada componente de la trayectoria de cada intersección de 1-.2-3 veces de los conjuntos de la cubierta.)
- PJ Higgins, Categorías y grupos (1971) Van Nostrand Reinhold
- Ronald Brown, Teoría de grupos de dimensiones superiores (2007) (Ofrece una visión amplia de los teoremas de Van Kampen de dimensiones superiores que involucran múltiples grupoides) .
- Greenberg, Marvin J .; Harper, John R. (1981), Topología algebraica. Un primer curso , Serie de notas de conferencias de matemáticas, 58 , Benjamin / Cummings, ISBN 0805335579
- Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume . Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
- ER van Kampen. Sobre la conexión entre los grupos fundamentales de algunos espacios relacionados. Revista Estadounidense de Matemáticas, vol. 55 (1933), págs. 261-267.
- Brown, R., Higgins, P. J, Sobre la conexión entre los segundos grupos de homotopía relativa de algunos espacios relacionados , Proc. London Math. Soc. (3) 36 (1978) 193–212.
- Brown, R., Higgins, PJ y Sivera, R .. 2011, EMS Tracts in Mathematics Vol.15 (2011) Topología algebraica nobeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides homotópicos cúbicos ; (La primera de las tres Partes analiza las aplicaciones de las versiones de 1 y 2 dimensiones del Teorema de Seifert-van Kampen. La última permite cálculos de segundos grupos de homotopía relativa no belianos y, de hecho, de 2 tipos de homotopía. La segunda parte se aplica un teorema de van Kampen de homotopía superior para complejos cruzados, demostrado en la Parte III.)
- "Resultado del teorema de Van Kampen" . PlanetMath .
- R. Brown, H. Kamps, T. Porter: Un grupo doble homotopía de un espacio de Hausdorff II: un teorema de Van Kampen ', Teoría y aplicaciones de categorías, 14 (2005) 200-220.
- Dylan GL Allegretti, Simplicial Sets y Van Kampen's Theorem (Discute versiones generalizadas del teorema de Van Kampen aplicadas a espacios topológicos y conjuntos simpliciales).
- R. Brown y J.-L. Loday, "Teoremas de Van Kampen para diagramas de espacios", Topología 26 (1987) 311–334.
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enlaces externos
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