En matemáticas, el problema de Hurwitz , que lleva el nombre de Adolf Hurwitz , es el problema de encontrar relaciones multiplicativas entre formas cuadráticas que generalizan las que se sabe que existen entre sumas de cuadrados en cierto número de variables.
Existen relaciones multiplicativas bien conocidas entre sumas de cuadrados en dos variables
(conocida como la identidad Brahmagupta-Fibonacci ), y también la identidad de cuatro cuadrados de Euler y la identidad de ocho cuadrados de Degen . Estos pueden interpretarse como multiplicatividad para las normas sobre números complejos , cuaterniones y octoniones, respectivamente. [1] : 1–3 [2]
El problema de Hurwitz para el campo K es encontrar relaciones generales de la forma
con la z siendo bilineal formas en la x y y : es decir, cada z es un K combinación -linear de términos de la forma x i y j . [3] : 127 Llamamos a un triple ( r , s , n ) admisible para K si existe tal identidad. [1] : 125 Los casos triviales de triples admisibles incluyen ( r , s , rs ). El problema no es interesante para K de característica 2, ya que en tales campos cada suma de cuadrados es un cuadrado, y excluimos este caso. Se cree que, de lo contrario, la admisibilidad es independiente del campo de definición. [1] : 137
Hurwitz planteó el problema en 1898 en el caso especial r = s = n y mostró que, cuando se toman coeficientes en C , los únicos valores admisibles ( n , n , n ) eran n = 1, 2, 4, 8: [3 ] : 130 su demostración se extiende a cualquier campo de característica no 2. [1] : 3
El problema de "Hurwitz-Radon" es el de encontrar triples admisibles de la forma ( r , n , n ). Obviamente (1, n , n ) es admisible. El teorema de Hurwitz-Radon establece que (ρ ( n ), n , n ) es admisible en cualquier campo donde ρ ( n ) es la función definida para n = 2 u v , v impar, u = 4 a + b , 0 ≤ b ≤ 3, ya que ρ ( n ) = 8 a + 2 b . [1] : 137 [3] : 130
Otros triples admisibles incluyen ( 3, 5, 7) [1] : 138 y (10, 10, 16). [1] : 137
Ver también
Referencias
- ↑ a b c d e f g Rajwade, AR (1993). Cuadrados . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 171 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 .
- ^ Charles W. Curtis (1963) "El problema de cuatro y ocho cuadrados y álgebras de división" en Estudios de álgebra moderna editado por AA Albert, páginas 100-125, Asociación matemática de América , Solución del problema de Hurwitz en la página 115
- ^ a b c Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 67 . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-1095-2. Señor 2104929 . Zbl 1068.11023 .