En matemáticas , la discusión de campos vectoriales en esferas fue un problema clásico de topología diferencial , comenzando con el teorema de la bola peluda y los primeros trabajos sobre la clasificación de álgebras de división .
Específicamente, la pregunta es cuántos campos vectoriales lisos en ninguna parte cero linealmente independientes se pueden construir en una esfera en el espacio euclidiano N- dimensional . Frank Adams proporcionó una respuesta definitiva en 1962 . Ya se sabía, [1] por construcción directa usando álgebras de Clifford , que había al menos ρ ( N ) -1 de tales campos (ver definición más abajo). Adams aplicó la teoría de la homotopía y la teoría K topológica [2] para demostrar que no se podían encontrar más campos vectoriales independientes.
Detalles técnicos
En detalle, la pregunta se aplica a las 'esferas redondas' y a sus haces tangentes : de hecho, dado que todas las esferas exóticas tienen haces tangentes isomorfos, los números de Radon-Hurwitz ρ ( N ) determinan el número máximo de secciones linealmente independientes del haz tangente de cualquier esfera de homotopía. El caso de N impar es atendido por el teorema del índice de Poincaré-Hopf (ver teorema de la bola peluda ), por lo que el caso N par es una extensión de eso. Adams demostró que el número máximo de campos vectoriales linealmente independientes continuos ( suaves no sería diferente aquí) en la esfera ( N - 1) es exactamente ρ ( N ) - 1.
La construcción de los campos está relacionada con las álgebras de Clifford reales , que es una teoría con un módulo de periodicidad 8 que también se muestra aquí. Por el proceso de Gram-Schmidt , es lo mismo pedir independencia lineal (puntual) o campos que dan una base ortonormal en cada punto.
Números de radón-Hurwitz
Los números de Radon-Hurwitz ρ ( n ) aparecen en un trabajo anterior de Johann Radon (1922) y Adolf Hurwitz (1923) sobre el problema de Hurwitz sobre formas cuadráticas . [3] Para N escrito como el producto de un número impar A y una potencia de dos 2 B , escribe
- B = c + 4 d , 0 ≤ c <4.
Entonces [3]
- ρ ( N ) = 2 c + 8 d .
Los primeros valores de ρ (2 n ) son (de (secuencia A053381 en la OEIS )):
- 2, 4, 2, 8, 2, 4, 2, 9, 2, 4, 2, 8, 2, 4, 2, 10, ...
Para n impar , el valor de la función ρ ( n ) es uno.
Estos números también ocurren en otras áreas relacionadas. En la teoría de matrices , el número de Radon-Hurwitz cuenta el tamaño máximo de un subespacio lineal de las matrices reales n × n , para las cuales cada matriz distinta de cero es una transformación de similitud , es decir, un producto de una matriz ortogonal y una matriz escalar . En formas cuadráticas , el problema de Hurwitz pide identidades multiplicativas entre formas cuadráticas. Los resultados clásicos fueron revisados en 1952 por Beno Eckmann . Ahora se aplican en áreas que incluyen la teoría de la codificación y la física teórica .
Referencias
- ↑ James, IM (1957). "Productos de Whitehead y campos vectoriales en esferas". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 53 : 817–820.
- ^ Adams, JF (1962). "Campos vectoriales en esferas". Annals of Mathematics . 75 : 603–632. doi : 10.2307 / 1970213 . Zbl 0112.38102 .
- ^ a b Rajwade, AR (1993). Cuadrados . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 171 . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 127. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 .
- Porteous, IR (1969). Geometría topológica . Van Nostrand Reinhold. págs. 336–352 . ISBN 0-442-06606-6. Zbl 0186.06304 .
- Miller, HR "Campos vectoriales en esferas, etc. (notas del curso)" (PDF) . Consultado el 10 de noviembre de 2018 .