En matemáticas , la cirugía de Dehn hiperbólica es una operación mediante la cual se pueden obtener más 3 variedades hiperbólicas a partir de una 3 variedad hiperbólica cúspide determinada . La cirugía de Dehn hiperbólica existe solo en la dimensión tres y es una que distingue la geometría hiperbólica en tres dimensiones de otras dimensiones.
Esta operación a menudo también se llama llenado hiperbólico de Dehn , ya que la cirugía de Dehn propiamente dicha se refiere a una operación de "taladrar y llenar" en un enlace que consiste en perforar una vecindad del enlace y luego rellenar con toros sólidos. La cirugía de Dehn hiperbólica en realidad solo implica "llenado".
En general, asumiremos que un 3-múltiple hiperbólico está completo.
Suponga que M es una variedad tridimensional hiperbólica cúspide con n cúspides. M puede considerarse, topológicamente, como el interior de una variedad compacta con límite toral. Supongamos que hemos elegido un meridiano y una longitud para cada toro límite, es decir, curvas cerradas simples que son generadoras del grupo fundamental del toro. Dejardenotar la variedad obtenida de M rellenando el i -ésimo toro del límite con un toro sólido usando la pendiente donde cada par y son enteros coprimos. Permitimos un ser - estar lo que significa que no llenamos esa cúspide, es decir, hacemos el llenado de Dehn "vacío". Entonces M =.
Equipamos el espacio H de 3 colectores hiperbólicos de volumen finito con la topología geométrica .
El teorema de la cirugía de Dehn hiperbólica de Thurston establece:es hiperbólico mientras un conjunto finito de pendientes excepcionales se evita para la i -ésima cúspide de cada i . Además,converge a M en H como todos para todos correspondiente a empastes de Dehn no vacíos .
Este teorema se debe a William Thurston y es fundamental para la teoría de las variedades 3 hiperbólicas. Esto demuestra que existen límites no triviales en H . El estudio de Troels Jorgensen de la topología geométrica muestra además que todos los límites no triviales surgen por el relleno de Dehn como en el teorema.
Otro resultado importante de Thurston es que el volumen disminuye con el llenado hiperbólico de Dehn. De hecho, el teorema establece que el volumen disminuye con el llenado topológico de Dehn, asumiendo, por supuesto, que la variedad llena de Dehn es hiperbólica. La prueba se basa en propiedades básicas de la norma de Gromov .
Jørgensen también demostró que la función de volumen en este espacio es una función continua y adecuada . Así, según los resultados anteriores, los límites no triviales en H se llevan a límites no triviales en el conjunto de volúmenes. De hecho, se puede concluir además, como lo hizo Thurston, que el conjunto de volúmenes de 3-variedades hiperbólicas de volumen finito tiene tipo ordinal . Este resultado se conoce como el teorema de Thurston-Jørgensen . Gromov realizó más trabajos que caracterizan este conjunto .
El nudo en forma de ocho y el nudo pretzel (-2, 3, 7) son los únicos dos nudos cuyos complementos se sabe que tienen más de 6 cirugías excepcionales; tienen 10 y 7, respectivamente. Cameron Gordon conjeturó que 10 es el mayor número posible de cirugías excepcionales de cualquier complemento de nudo hiperbólico. Esto fue probado por Marc Lackenby y Rob Meyerhoff, quienes muestran que el número de pendientes excepcionales es 10 para cualquier colector 3 compacto orientable con límite en un toro y volumen finito interior hiperbólico. Su demostración se basa en la prueba de la conjetura de geometrización originada por Grigori Perelman y en la asistencia informática . Sin embargo, actualmente no se sabe si el nudo en forma de ocho es el único que alcanza el límite de 10. Una conjetura bien conocida es que el límite (excepto por los dos nudos mencionados) es 6. Agol ha demostrado que hay sólo un número finito de casos en los que el número de pendientes excepcionales es de 9 o 10.
Referencias
- Ian Agol, Límites del excepcional relleno Dehn II , Geom. Topol. 14 (2010) 1921-1940. arxiv: 0803: 3088
- Robion Kirby , Problemas en topología de baja dimensión (consulte el problema 1.77, debido a Cameron Gordon , para pendientes excepcionales)
- Marc Lackenby y Robert Meyerhoff, El número máximo de cirugías de Dehn excepcionales , arXiv: 0808.1176
- William Thurston , La geometría y topología de tres variedades , notas de la conferencia de Princeton (1978-1981).