grupo hiperoctaédrico
En matemáticas , un grupo hiperoctaédrico es un tipo importante de grupo que se puede realizar como el grupo de simetrías de un hipercubo o de un politopo cruzado . Fue nombrado por Alfred Young en 1930. Los grupos de este tipo se identifican por un parámetro n , la dimensión del hipercubo.
Como grupo de Coxeter es del tipo B n = C n , y como grupo de Weyl está asociado a los grupos simplécticos ya los ortogonales de dimensiones impares. Como producto de corona es donde se encuentra el grupo simétrico de grado n . Como grupo de permutaciones , el grupo es el grupo de permutaciones simétricas con signo π del conjunto { − n , − n + 1, ..., −1, 1, 2, ..., n } o del conjunto { - norte , - norte + 1, ..., n } tal que π ( i ) = − π (− i ) para todo i . Como grupo de matrices , se puede describir como el grupo de matrices ortogonales n × n cuyas entradas son todos números enteros . De manera equivalente, este es el conjunto de matrices n × n con entradas solo , o , que son invertibles y que tienen exactamente una entrada distinta de cero en cada fila o columna. La teoría de la representación del grupo hiperoctaédrico fue descrita por ( Young 1930 ) según ( Kerber 1971, pags. 2).
En tres dimensiones, el grupo hiperoctaédrico se conoce como O × S 2 donde O ≅ S 4 es el grupo octaédrico , y S 2 es un grupo simétrico (aquí un grupo cíclico ) de orden 2. Figuras geométricas en tres dimensiones con este grupo de simetría se dice que tienen simetría octaédrica , llamada así por el octaedro regular , o 3 -orthoplex . En 4 dimensiones se llama simetría hexadecacórica , después de las 16 celdas regulares , o 4 -orthoplex. En dos dimensiones, la estructura del grupo hiperoctaédrico es el grupo diédrico abstracto de orden ocho , que describe la simetría de un cuadrado , o 2-orthoplex.
Hay un subgrupo índice dos notable, correspondiente al grupo D n de Coxeter y las simetrías del demihipercubo . Visto como un producto de corona, hay dos aplicaciones naturales del grupo hiperoctaédrico al grupo cíclico de orden 2: una aplicación proveniente de "multiplicar los signos de todos los elementos" (en las n copias de ), y una aplicación proveniente del paridad de la permutación. Al multiplicarlos juntos se obtiene un tercer mapa . El núcleo del primer mapa es el grupo de Coxeter En términos de permutaciones con signo, considerado como matrices, este tercer mapa es simplemente el determinante, mientras que los dos primeros corresponden a "multiplicar las entradas distintas de cero" y "paridad de la permutación subyacente (sin signo)", que generalmente no son significativos para las matrices, pero son en el caso por la coincidencia con un producto de corona.
Los núcleos de estos tres mapas son los tres subgrupos de índice dos del grupo hiperoctaédrico, como se analiza en H 1 : Abelianización a continuación, y su intersección es el subgrupo derivado , de índice 4 (cociente del grupo de 4 de Klein), que corresponde al simetrías rotacionales del demihipercubo.
