En geometría de cuatro dimensiones , un 16-celdas es un 4-politopo convexo regular . Es uno de los seis politopos convexos regulares descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX. También se le llama C 16 , hexadecachoron , [1] o hexdecahedroid . [2]
Hexadecacoron regular (16 celdas) (4 ortoplex) | |
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Tipo | Convexo regular 4-politopos 4- ortoplex 4- demicube |
Símbolo de Schläfli | {3,3,4} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | 16 {3,3} |
Caras | 32 {3} |
Bordes | 24 |
Vértices | 8 |
Figura de vértice | Octaedro |
Polígono de Petrie | octágono |
Grupo Coxeter | B 4 , [3,3,4], orden 384 D 4 , orden 192 |
Doble | Tesseract |
Propiedades | convexo , isogonal , isotoxal , isoédrico , cuasirregular |
Índice uniforme | 12 |
Es parte de una familia infinita de politopos, llamados politopos cruzados u ortoplejos , y es análogo al octaedro en tres dimensiones. Es de Coxeterpolitopo. [3] El nombre de Conway para un politopo cruzado es orthoplex , para orthant complex . El politopo dual es el tesseract (4- cubo ), con el que se puede combinar para formar una figura compuesta . El de 16 celdas tiene 16 celdas, ya que el tesseract tiene 16 vértices.
Geometría
Está delimitado por 16 células , todas las cuales son tetraedros regulares . Tiene 32 caras triangulares , 24 aristas y 8 vértices . Los 24 bordes delimitan 6 cuadrados que se encuentran en los 6 planos de coordenadas.
Los ocho vértices de las 16 celdas son (± 1, 0, 0, 0), (0, ± 1, 0, 0), (0, 0, ± 1, 0), (0, 0, 0, ± 1). Todos los vértices están conectados por aristas excepto los pares opuestos.
El símbolo de Schläfli de las 16 celdas es {3,3,4}. Su figura de vértice es un octaedro regular . Hay 8 tetraedros, 12 triángulos y 6 aristas que se encuentran en cada vértice. Su figura de borde es un cuadrado. Hay 4 tetraedros y 4 triángulos que se encuentran en cada borde.
Las 16 celdas se pueden descomponer en dos cadenas circulares disjuntas similares de ocho tetraedros cada una, de cuatro bordes de largo. Cada cadena, cuando se estira recta, forma una hélice de Boerdijk-Coxeter . Esta descomposición se puede ver en una construcción de duoantiprismo 4-4 de las 16 celdas : o , Símbolo de Schläfli {2} ⨂ {2} os {2} s {2}, simetría 4,2 + , 4, orden 64.
Las 16 celdas se pueden diseccionar en dos pirámides octaédricas , que comparten una nueva base de octaedro a través del centro de 16 celdas.
Como configuración
Esta matriz de configuración representa las 16 celdas. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales dicen cuántos de cada elemento ocurren en las 16 celdas completas. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en el mismo.
Imagenes
Proyección estereográfica | Proyección 3D de 16 celdas realizando una rotación simple . Proyección 3D original de 16 celdas. |
El de 16 celdas tiene dos construcciones Wythoff , una forma regular y una forma alterna, que se muestran aquí como redes , la segunda está representada por dos colores alternativos de celdas tetraédricas. |
Proyecciones ortogonales
Avión de Coxeter | B 4 | B 3 / D 4 / A 2 | B 2 / D 3 |
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Grafico | |||
Simetría diedro | [8] | [6] | [4] |
Avión de Coxeter | F 4 | A 3 | |
Grafico | |||
Simetría diedro | [12/3] | [4] |
Teselaciones
Uno puede teselar el espacio euclidiano de 4 dimensiones con 16 celdas regulares. Esto se llama panal de 16 celdas y tiene el símbolo de Schläfli {3,3,4,3}. Por lo tanto, las 16 celdas tienen un ángulo diedro de 120 °. [4] Cada 16 celdas tiene 16 vecinos con los que comparte un tetraedro, 24 vecinos con los que comparte solo una arista y 72 vecinos con los que comparte solo un punto. Veinticuatro 16 celdas se encuentran en cualquier vértice dado en esta teselación.
El mosaico dual, el panal de 24 celdas , {3,4,3,3}, está formado por 24 celdas regulares . Junto con el panal teseractic {4,3,3,4}, estos son los únicos tres teselados regulares de R 4 .
Hélice de Boerdijk-Coxeter
Se puede construir una celda de 16 a partir de dos hélices de Boerdijk-Coxeter de ocho tetraedros encadenados, cada uno plegado en un anillo de 4 dimensiones. Las 16 caras de los triángulos se pueden ver en una red 2D dentro de un mosaico triangular , con 6 triángulos alrededor de cada vértice. Los bordes morados representan el polígono de Petrie de las 16 celdas.
Proyecciones
La proyección paralela de la primera celda de las 16 celdas en 3 espacios tiene una envolvente cúbica . Las celdas más cercanas y más lejanas se proyectan en tetraedros inscritos dentro del cubo, correspondientes a las dos formas posibles de inscribir un tetraedro regular en un cubo. Alrededor de cada uno de estos tetraedros hay otros 4 volúmenes tetraédricos (no regulares) que son las imágenes de las 4 células tetraédricas circundantes, que llenan el espacio entre el tetraedro inscrito y el cubo. Las 6 celdas restantes se proyectan sobre las caras cuadradas del cubo. En esta proyección de la celda de 16, todos sus bordes se encuentran en las caras del sobre cúbico.
La proyección en perspectiva de la primera celda de las 16 celdas en el espacio tridimensional tiene una envoltura tetraédrica triaquis . La disposición de las celdas dentro de esta envoltura es análoga a la de la proyección paralela de la primera celda.
La proyección paralela del primer vértice de las 16 celdas en el espacio tridimensional tiene una envolvente octaédrica . Este octaedro se puede dividir en 8 volúmenes tetraédricos, cortando a lo largo de los planos de coordenadas. Cada uno de estos volúmenes es la imagen de un par de celdas en las 16 celdas. El vértice más cercano de las 16 celdas al espectador se proyecta en el centro del octaedro.
Finalmente, la proyección paralela de borde primero tiene una envolvente octaédrica acortada, y la proyección paralela de primera cara tiene una envolvente bipiramidal hexagonal .
Diagrama de Venn de 4 esferas
Una proyección tridimensional de las 16 celdas y las 4 esferas que se cruzan (un diagrama de Venn de 4 conjuntos) son topológicamente equivalentes.
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Construcciones de simetría
Hay una forma de simetría más baja de las 16 celdas , llamada demitesseract o 4-demicube , un miembro de la familia demihipercubo , y representada por h {4,3,3} y diagramas de Coxeter o . Se puede dibujar bicolor con celdas tetraédricas alternas .
También se puede ver en forma de simetría más baja como un antiprisma tetraédrico , construido por 2 tetraedros paralelos en configuraciones duales, conectados por 8 tetraedros (posiblemente alargados). Está representado por s {2,4,3} y el diagrama de Coxeter:.
También puede ser visto como un desaire 4- orthotope , representada por s {2 1,1,1 }, y el diagrama de Coxeter: o .
Con el tesseract construido como un duoprisma 4-4 , el de 16 celdas puede verse como su doble, una duopirámide 4-4 .
Nombre | Diagrama de Coxeter | Símbolo de Schläfli | Notación Coxeter | Pedido | Figura de vértice |
---|---|---|---|---|---|
Normal de 16 celdas | {3,3,4} | [3,3,4] | 384 | ||
Demitesseract Cuasirregular 16 celdas | = = | h {4,3,3} {3,3 1,1 } | [3 1,1,1 ] = [1 + , 4,3,3] | 192 | |
Duoprisma 4-4 alterno | 2 s {4,2,4} | [[4,2 + , 4]] | 64 | ||
Antiprisma tetraédrico | s {2,4,3} | [2 + , 4,3] | 48 | ||
Prisma prisma cuadrado alternado | sr {2,2,4} | [(2,2) + , 4] | dieciséis | ||
Rechazo 4- ortotópico | = | s {2 1,1,1 } | [2,2,2] + = [2 1,1,1 ] + | 8 | |
4- fusil | |||||
{3,3,4} | [3,3,4] | 384 | |||
{4} + {4} o 2 {4} | [[4,2,4]] = [8,2 + , 8] | 128 | |||
{3,4} + {} | [4,3,2] | 96 | |||
{4} +2 {} | [4,2,2] | 32 | |||
{} + {} + {} + {} o 4 {} | [2,2,2] | dieciséis |
Polígonos complejos relacionados
El polígono de Möbius-Kantor es un polígono complejo regular 3 {3} 3 ,, en comparte los mismos vértices que el de 16 celdas. Tiene 8 vértices y 8 3 aristas. [5] [6]
El polígono complejo regular, 2 {4} 4 ,, en tiene una representación real como un espacio de 16 celdas en 4 dimensiones con 8 vértices, 16 2 bordes, solo la mitad de los bordes de 16 celdas. Su simetría es 4 [4] 2 , orden 32. [7]
En el plano B 4 Coxeter , 2 {4} 4 tiene 8 vértices y 16 2 aristas, que se muestran aquí con 4 conjuntos de colores. | Los 8 vértices se agrupan en 2 conjuntos (mostrados en rojo y azul), cada uno solo conectado con aristas a vértices en el otro conjunto, haciendo de este polígono un gráfico bipartito completo , K 4,4 . [8] |
Politopos uniformes y panales relacionados
Las 16 celdas regulares junto con el tesseract existen en un conjunto de 15 4 politopos uniformes con la misma simetría . También es parte de los politopos uniformes de simetría D 4 .
Este 4-politopo también se relaciona con el panal cúbico , orden-4 de nido de abeja de dodecaedro , y orden-4 de nido de abeja teselado hexagonal que todos tienen cifras octaédricos vértice .
Está en una secuencia de tres politopos regulares de 4 : el {3,3,3} de 5 celdas , el {3,3,5} de 600 celdas del 4-espacio euclidiano y el panal tetraédrico de orden 6 {3, 3,6} de espacio hiperbólico. Todos estos tienen células tetraédricas .
Es el primero en una secuencia de politopos y panales cuasirregulares h {4, p, q}, y una secuencia de media simetría , para formas regulares {p, 3,4}.
Ver también
- 24 celdas
- 4-politopo
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
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Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | Pentacoron | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos |
Referencias
- ^ NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finita , 11.5 Grupos esféricos de Coxeter , p.249
- ^ Matila Ghyka, La geometría del arte y la vida (1977), p.68
- ^ Coxeter 1973 , p. 121, §7.21. véase la ilustración Fig 7.2 B .
- ^ Coxeter 1973 , p. 293.
- ^ Coxeter y Shephard, 1991, p.30 y p.47
- ^ Coxeter y Shephard, 1992
- ^ Politopos complejos regulares, p. 108
- ^ Politopos complejos regulares, p.114
- T.Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
- HSM Coxeter :
- Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3ª ed.). Nueva York: Dover.
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, págs. 409: Hemicubos: 1 n1 )
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- NW Johnson: La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. (1966)
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "16 celdas" . MathWorld .
- Der 16-Zeller (16 celdas) Politopos regulares de Marco Möller en R 4 (alemán)
- Descripción y diagramas de proyecciones de 16 celdas
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D (polychora) x3o3o4o - hex" .