En geometría , los demihipercubos (también llamados n-demicubos , n-hemicubos y politopos de media medida ) son una clase de n- politopos construidos a partir de la alternancia de un n- hipercubo , etiquetados como hγ n por ser la mitad de la familia de hipercubos, γ n . La mitad de los vértices se eliminan y se forman nuevas facetas. Los 2n facetas convierten 2n (n-1) -demicubes , y 2 n (n-1) -simplex facetas están formadas en lugar de los vértices suprimidos. [1]
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/e/ed/CubeAndStel.svg/220px-CubeAndStel.svg.png)
Han sido nombrados con un prefijo demi- para cada nombre de hipercubo : demicube, demitesseract, etc. El demicube es idéntico al tetraedro regular , y el demitesseract es idéntico al de 16 celdas regulares . El demipenteract se considera semirregular por tener solo facetas regulares. Las formas superiores no tienen todas las facetas regulares, pero son politopos uniformes .
Los vértices y las aristas de un demihipercubo forman dos copias del gráfico de cubo reducido a la mitad .
Un n-demicubo tiene simetría de inversión si n es par.
Descubrimiento
Thorold Gosset describió el demipenteract en su publicación de 1900 que enumera todas las figuras regulares y semirregulares en n dimensiones por encima de 3. Lo llamó semi-regular 5-ic . También existe dentro de la familia de politopos semirregulares k 21 .
Los demihipercubos se pueden representar mediante símbolos de Schläfli extendidos de la forma h {4,3, ..., 3} como la mitad de los vértices de {4,3, ..., 3}. Las cifras de vértice de demihypercubes se rectifican n- simplexes .
Construcciones
Están representados por diagramas de Coxeter-Dynkin de tres formas constructivas:
...
(Como un ortópico alterno ) s {2 1,1 ..., 1 }
...
(Como un hipercubo alterno ) h {4,3 n-1 }
...
. (Como demihipercubo) {3 1, n-3,1 }
HSM Coxeter también etiquetó el tercer diagrama de bifurcación como 1 k1 que representa las longitudes de las 3 ramas y está dirigido por la rama anillada.
Un n-demicubo , n mayor que 2, tiene n * (n-1) / 2 aristas que se encuentran en cada vértice. Los gráficos siguientes muestran menos aristas en cada vértice debido a aristas superpuestas en la proyección de simetría.
norte | 1 k1 | Polígono de Petrie | Símbolo de Schläfli | Diagramas de Coxeter A 1 n B n D n | Elementos | Facetas : Demihipercubos y Símplex | Figura de vértice | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Vértices | Bordes | Caras | Células | 4 caras | 5 caras | 6 caras | 7 caras | 8 caras | 9 caras | |||||||
2 | 1 −1,1 | demisquare ( digón ) ![]() | s {2} h {4} {3 1, −1,1 } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 2 | 2 | 2 aristas | - | ||||||||
3 | 1 01 | demicube ( tetraedro ) ![]() ![]() | s {2 1,1 } h {4,3} {3 1,0,1 } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 4 | 6 | 4 | (6 dígitos ) 4 triángulos | Triángulo (triángulo rectificado) | |||||||
4 | 1 11 | demitesseract ( 16 celdas ) ![]() ![]() | s {2 1,1,1 } h {4,3,3} {3 1,1,1 } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 8 | 24 | 32 | dieciséis | 8 semicubos (tetraedros) 8 tetraedros | Octaedro (tetraedro rectificado) | ||||||
5 | 1 21 | demipenteract![]() ![]() | s {2 1,1,1,1 } h {4,3 3 } {3 1,2,1 } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | dieciséis | 80 | 160 | 120 | 26 | 10 16 celdas 16 5 celdas | 5 celdas rectificadas | |||||
6 | 1 31 | demihexeract![]() ![]() | s {2 1,1,1,1,1 } h {4,3 4 } {3 1,3,1 } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 32 | 240 | 640 | 640 | 252 | 44 | 12 demipenteracts 32 5- simplices | Hexateron rectificado | ||||
7 | 1 41 | demihepteract![]() ![]() | s {2 1,1,1,1,1,1 } h {4,3 5 } {3 1,4,1 } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 64 | 672 | 2240 | 2800 | 1624 | 532 | 78 | 14 demihexeractos 64 6- simplices | 6-simplex rectificado | |||
8 | 1 51 | demiocteract![]() ![]() | s {2 1,1,1,1,1,1,1 } h {4,3 6 } {3 1,5,1 } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 128 | 1792 | 7168 | 10752 | 8288 | 4032 | 1136 | 144 | 16 demihepteracts 128 7- simplices | 7-simplex rectificado | ||
9 | 1 61 | demienneract![]() ![]() | s {2 1,1,1,1,1,1,1,1 } h {4,3 7 } {3 1,6,1 } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 256 | 4608 | 21504 | 37632 | 36288 | 23520 | 9888 | 2448 | 274 | 18 demiocteracts 256 8- simplices | 8-simplex rectificado | |
10 | 1 71 | demidekeract![]() ![]() | s {2 1,1,1,1,1,1,1,1,1 } h {4,3 8 } {3 1,7,1 } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 512 | 11520 | 61440 | 122880 | 142464 | 115584 | 64800 | 24000 | 5300 | 532 | 20 demienneracts 512 9- simplices | 9-simplex rectificado |
... | ||||||||||||||||
norte | 1 n-3,1 | n-demicube | s {2 1,1, ..., 1 } h {4,3 n-2 } {3 1, n-3,1 } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 2 n-1 | 2n (n-1) -demicubes 2 n-1 (n-1) - simplices | Rectificado (n-1) -simplex |
En general, los elementos de un demicubo se pueden determinar a partir del n-cubo original: (Con C n, m = m th -cuenta de caras en n-cube = 2 n-m * n! / (M! * (Nm)!))
- Vértices: D n, 0 = 1/2 * C n, 0 = 2 n-1 (Quedan la mitad de los n-cúbicos)
- Bordes: D n, 1 = C n, 2 = 1/2 n (n-1) 2 n-2 (Todos los bordes originales perdidos, cada cara cuadrada crea un nuevo borde)
- Caras: D n, 2 = 4 * C n, 3 = 2/3 n (n-1) (n-2) 2 n-3 (Todas las caras originales perdidas, cada cubo crea 4 nuevas caras triangulares)
- Celdas: D n, 3 = C n, 3 + 2 3 C n, 4 (tetraedros de las celdas originales más las nuevas)
- Hipercélulas: D n, 4 = C n, 4 + 2 4 C n, 5 (16 celdas y 5 celdas respectivamente)
- ...
- [Para m = 3 ... n-1]: D n, m = C n, m + 2 m C n, m + 1 (m-demicubos y m-simplex respectivamente)
- ...
- Facetas: D n, n-1 = 2n + 2 n-1 ((n-1) -demicubes y (n-1) -simplices respectivamente)
Grupo de simetría
El estabilizador del demihipercubo en el grupo hiperoctaédrico (el grupo Coxeter[4,3 n-1 ]) tiene índice 2. Es el grupo Coxeter[3 n-3,1,1 ] de orden, y se genera mediante permutaciones de los ejes de coordenadas y reflexiones a lo largo de pares de ejes de coordenadas. [2]
Construcciones ortotópicas
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/8/81/Rhombic_disphenoid.png/220px-Rhombic_disphenoid.png)
Las construcciones como ortotopos alternos tienen la misma topología, pero se pueden estirar con diferentes longitudes en n- ejes de simetría.
El esfenoides rómbico es el ejemplo tridimensional como paralelepípedo alterno. Tiene tres conjuntos de longitudes de arista y caras de triángulos escalenos .
Ver también
- Nido de abeja hipercubo
- E-politopo semirregular
Referencias
- ^ Politopos III regulares y semi-regulares, p. 315-316
- ^ "semana187" . math.ucr.edu . Consultado el 20 de abril de 2018 .
- T.Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, págs. 409: Hemicubos: 1 n1 )
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
enlaces externos
- Olshevsky, George. "Politopo de media medida" . Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
Familia | A n | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
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Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Politopo uniforme 4 | 5 celdas | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5-simplex | 5 ortoplex • 5 cubos | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplex • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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