En geometría , un grupo de puntos en cuatro dimensiones es un grupo de isometría en cuatro dimensiones que deja el origen fijo o, en consecuencia, un grupo de isometría de 3 esferas .
Historia sobre grupos de cuatro dimensiones
- 1889 Édouard Goursat , Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 3, 6, (págs. 9-102, págs. 80-81 tetraedros), tetraedro Goursat
- 1951, AC Hurley, Grupos de rotación finita y clases de cristal en cuatro dimensiones , Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge, vol. 47, número 04, pág. 650 [1]
- 1962 AL MacKay Bravais Celosías en el espacio de cuatro dimensiones [2]
- 1964 Patrick du Val , Homografías, cuaterniones y rotaciones , grupos de puntos 4D basados en cuaterniones
- 1975 Jan Mozrzymas, Andrzej Solecki, grupos de puntos R4 , Informes sobre Física Matemática, Volumen 7, Número 3, p. 363-394 [3]
- 1978 H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek y H. Zassenhaus, Grupos cristalográficos del espacio tetradimensional . [4]
- 1982 NP Warner, Los grupos de simetría de las teselaciones regulares de S2 y S3 [5]
- 1985 EJW Whittaker, un atlas de hiperestereogramas de las clases de cristales de cuatro dimensiones
- 1985 HSM Coxeter , Polytopes II regular y semi-regular , notación Coxeter para grupos de puntos 4D
- 2003 John Conway y Smith, Sobre cuaterniones y octoniones , grupos de puntos 4D completos basados en cuaterniones
- 2018 NW Johnson Geometries and Transformations , Capítulo 11,12,13, Grupos policóricos completos, p. 249, grupos duoprismáticos p. 269
Isometrías de simetría de puntos 4D
Hay cuatro isometrías básicas de simetría puntual de 4 dimensiones : simetría de reflexión , simetría rotacional , rotorreflexión y doble rotación .
Notación para grupos
Los grupos de puntos en este artículo se dan en notación Coxeter , que se basan en grupos Coxeter , con marcas para grupos y subgrupos extendidos. [6] La notación de Coxeter tiene una correspondencia directa con el diagrama de Coxeter como [3,3,3], [4,3,3], [3 1,1,1 ], [3,4,3], [5,3 , 3] y [p, 2, q]. Estos grupos unen la esfera 3 en dominios tetraédricos hiperesféricos idénticos. El número de dominios es el orden del grupo. El número de espejos para un grupo irreducible es nh / 2 , donde h es el número de Coxeter del grupo Coxeter , n es la dimensión (4). [7]
Para las referencias cruzadas, también se dan aquí notaciones basadas en cuaterniones de Patrick du Val (1964) [8] y John Conway (2003). [9] La notación de Conway permite calcular el orden del grupo como un producto de elementos con órdenes de grupo poliédricos quirales: (T = 12, O = 24, I = 60). En la notación de Conway, un prefijo (±) implica inversión central y un sufijo (.2) implica simetría especular. De manera similar, la notación de Du Val tiene un superíndice de asterisco (*) para la simetría especular.
Grupos de involución
Hay cinco grupos involutivos : sin simetría [] + , simetría de reflexión [], simetría rotacional doble [2] + , rotorreflexión doble [2 + , 2 + ] y simetría del punto central [2 + , 2 + , 2 + ] como una doble rotación de 2 veces .
Grupos de Coxeter de rango 4
Un grupo policórico es uno de los cinco grupos de simetría de los politopos regulares de 4 dimensiones . También hay tres grupos prismáticos poliédricos y un conjunto infinito de grupos duoprismáticos. Cada grupo está definido por un dominio fundamental tetraedro Goursat delimitado por planos espejo. Los ángulos diedros entre los espejos determinan el orden de simetría diedro . El diagrama de Coxeter-Dynkin es un gráfico en el que los nodos representan planos de espejo y los bordes se denominan ramas y se etiquetan por su orden de ángulo diedro entre los espejos.
El término policoron (plural polychora , adjetivo policórico ), de las raíces griegas poly ("muchos") y choros ("habitación" o "espacio") y es defendido [10] por Norman Johnson y George Olshevsky en el contexto de polychora uniforme (4-politopos) y sus grupos de simetría de 4 dimensiones relacionados. [11]
B 4 se puede descomponer en 2 grupos ortogonales, 4 A 1 y D 4 :
|
F 4 se puede descomponer en 2 grupos D 4 ortogonales :
|
B 3 × A 1 se puede descomponer en grupos ortogonales, 4 A 1 y D 3 :
|
Los grupos Coxeter de rango 4 permiten que un conjunto de 4 espejos abarque 4 espacios y divide la 3 esfera en dominios fundamentales tetraédricos. Los grupos de Coxeter de rango inferior solo pueden unir dominios fundamentales de hosoedro u hosotopo en la 3-esfera.
Al igual que los grupos poliédricos 3D , los nombres de los grupos policóricos 4D dados se construyen mediante los prefijos griegos de los recuentos de células de los correspondientes politopos regulares con caras triangulares. [12] Existen simetrías extendidas en la policora uniforme con patrones de anillos simétricos dentro de la construcción del diagrama de Coxeter . Existen simetrías quirales en policoras uniformes alternas .
Solo los grupos irreducibles tienen números de Coxeter, pero los grupos duoprismáticos [p, 2, p] se pueden duplicar a [[p, 2, p]] agregando un giro de 2 veces al dominio fundamental, y esto da un número Coxeter efectivo de 2 p , por ejemplo, el grupo [4,2,4] y su simetría completa B 4 , [4,3,3] con el número de Coxeter 8.
Grupo Weyl | Cuaternión de Conway | Estructura abstracta | Diagrama de Coxeter | Notación Coxeter | Pedido | Subgrupo de conmutadores | Número de Coxeter (h) | Espejos (m) | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Grupos policóricos completos | ||||||||||||
A 4 | + 1 / 60 [I × I] 0,2 1 | S 5 | [3,3,3] | 120 | [3,3,3] + | 5 | 10 | |||||
D 4 | ± 1/3 [T × T] .2 | 1/2. 2 S 4 | [3 1,1,1 ] | 192 | [3 1,1,1 ] + | 6 | 12 | |||||
B 4 | ± 1/6 [O × O] .2 | 2 S 4 = S 2 ≀S 4 | [4,3,3] | 384 | 8 | 4 | 12 | |||||
F 4 | ± 1/2 [O × O] .2 3 | 3. 2 S 4 | [3,4,3] | 1152 | [3 + , 4,3 + ] | 12 | 12 | 12 | ||||
H 4 | ± [I × I] .2 | 2. (A 5 × A 5 ) .2 | [5,3,3] | 14400 | [5,3,3] + | 30 | 60 | |||||
Grupos prismáticos poliédricos completos | ||||||||||||
A 3 A 1 | +1/24 [O × O] .2 3 | S 4 × D 1 | [3,3,2] = [3,3] × [] | 48 | [3,3] + | - | 6 | 1 | ||||
B 3 A 1 | ± 1/24 [O × O] .2 | S 4 × D 1 | [4,3,2] = [4,3] × [] | 96 | - | 3 | 6 | 1 | ||||
H 3 A 1 | ± 1/60 [I × I] 0,2 | A 5 × D 1 | [5,3,2] = [5,3] × [] | 240 | [5,3] + | - | 15 | 1 | ||||
Grupos duoprismáticos completos | ||||||||||||
4A 1 = 2D 2 | ± 1/2 [D 4 × D 4 ] | D 1 4 = D 2 2 | [2,2,2] = [] 4 = [2] 2 | dieciséis | [] + | 4 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
D 2 B 2 | ± 1/2 [D 4 × D 8 ] | D 2 × D 4 | [2,2,4] = [2] × [4] | 32 | [2] + | - | 1 | 1 | 2 | 2 | ||
D 2 A 2 | ± 1/2 [D 4 × D 6 ] | D 2 × D 3 | [2,2,3] = [2] × [3] | 24 | [3] + | - | 1 | 1 | 3 | |||
D 2 G 2 | ± 1/2 [D 4 × D 12 ] | D 2 × D 6 | [2,2,6] = [2] × [6] | 48 | - | 1 | 1 | 3 | 3 | |||
D 2 H 2 | ± 1/2 [D 4 × D 10 ] | D 2 × D 5 | [2,2,5] = [2] × [5] | 40 | [5] + | - | 1 | 1 | 5 | |||
2B 2 | ± 1/2 [D 8 × D 8 ] | D 4 2 | [4,2,4] = [4] 2 | 64 | [2 + , 2,2 + ] | 8 | 2 | 2 | 2 | 2 | ||
B 2 A 2 | ± 1/2 [D 8 × D 6 ] | D 4 × D 3 | [4,2,3] = [4] × [3] | 48 | [2 + , 2,3 + ] | - | 2 | 2 | 3 | |||
B 2 G 2 | ± 1/2 [D 8 × D 12 ] | D 4 × D 6 | [4,2,6] = [4] × [6] | 96 | - | 2 | 2 | 3 | 3 | |||
B 2 H 2 | ± 1/2 [D 8 × D 10 ] | D 4 × D 5 | [4,2,5] = [4] × [5] | 80 | [2 + , 2,5 + ] | - | 2 | 2 | 5 | |||
2A 2 | ± 1/2 [D 6 × D 6 ] | D 3 2 | [3,2,3] = [3] 2 | 36 | [3 + , 2,3 + ] | 6 | 3 | 3 | ||||
A 2 G 2 | ± 1/2 [D 6 × D 12 ] | D 3 × D 6 | [3,2,6] = [3] × [6] | 72 | - | 3 | 3 | 3 | ||||
2G 2 | ± 1/2 [D 12 × D 12 ] | D 6 2 | [6,2,6] = [6] 2 | 144 | 12 | 3 | 3 | 3 | 3 | |||
A 2 H 2 | ± 1/2 [D 6 × D 10 ] | D 3 × D 5 | [3,2,5] = [3] × [5] | 60 | [3 + , 2,5 + ] | - | 3 | 5 | ||||
G 2 H 2 | ± 1/2 [D 12 × D 10 ] | D 6 × D 5 | [6,2,5] = [6] × [5] | 120 | - | 3 | 3 | 5 | ||||
2H 2 | ± 1/2 [D 10 × D 10 ] | D 5 2 | [5,2,5] = [5] 2 | 100 | [5 + , 2,5 + ] | 10 | 5 | 5 | ||||
En general, p, q = 2,3,4 ... | ||||||||||||
2I 2 (2p) | ± 1/2 [D 4p × D 4p ] | D 2p 2 | [2p, 2,2p] = [2p] 2 | 16p 2 | [p + , 2, p + ] | 2p | pag | pag | pag | pag | ||
2I 2 (p) | ± 1/2 [D 2p × D 2p ] | D p 2 | [p, 2, p] = [p] 2 | 4p 2 | 2p | pag | pag | |||||
Yo 2 (p) Yo 2 (q) | ± 1/2 [D 4p × D 4q ] | D 2p × D 2q | [2p, 2,2q] = [2p] × [2q] | 16pq | [p + , 2, q + ] | - | pag | pag | q | q | ||
Yo 2 (p) Yo 2 (q) | ± 1/2 [D 2p × D 2q ] | D p × D q | [p, 2, q] = [p] × [q] | 4pq | - | pag | q |
El orden de simetría es igual al número de celdas del policorón regular multiplicado por la simetría de sus celdas. La policora dual omnitruncada tiene células que coinciden con los dominios fundamentales del grupo de simetría.
Simetría | A 4 | D 4 | B 4 | F 4 | H 4 | |
---|---|---|---|---|---|---|
4-politopo | 5 celdas | demitesseract | tesseract | 24 celdas | 120 celdas | |
Células | 5 {3,3} | 16 {3,3} | 8 {4,3} | 24 {3,4} | 120 {5,3} | |
Simetría celular | [3,3], orden 24 | [4,3], orden 48 | [5,3], pedido 120 | |||
Diagrama de Coxeter | = | |||||
Red de 4 politopos | ||||||
Omnitruncación | omni. 5 celdas | omni. demitesseract | omni. tesseract | omni. 24 celdas | omni. 120 celdas | |
Omnitruncation doble neta | ||||||
Diagrama de Coxeter | ||||||
Células | 5 × 24 = 120 | (16/2) × 24 = 192. | 8 × 48 = 384. | 24 × 48 = 1152. | 120 × 120 = 14400. |
Subgrupos quirales
Los subgrupos directos de los grupos de puntos reflectantes de 4 dimensiones son:
Notación Coxeter | Cuaternión de Conway | Estructura | Pedido | Hachas de giro | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Grupos policóricos | ||||||||
[3,3,3] + | +1/60 [I × I ] | A 5 | 60 | 10 3 | 10 2 | |||
[[3,3,3]] + | ± 1/60 [I × I ] | A 5 × Z 2 | 120 | 10 3 | (10+?) 2 | |||
[3 1,1,1 ] + | ± 1/3 [T × T] | 1/2. 2 A 4 | 96 | 16 3 | 18 2 | |||
[4,3,3] + | ± 1/6 [O × O] | 2 UNA 4 = UNA 2 ≀A 4 | 192 | 6 4 | 16 3 | 36 2 | ||
[3,4,3] + | ± 1/2 [O × O] | 3. 2 A 4 | 576 | 18 4 | 16 3 | 16 3 | 72 2 | |
[3 + , 4,3 + ] | ± [T × T] | 288 | 16 3 | 16 3 | (72 + 18) 2 | |||
[[3 + , 4,3 + ]] | ± [O × T] | 576 | 32 3 | (72 + 18 +?) 2 | ||||
[[3,4,3]] + | ± [O × O] | 1152 | 18 4 | 32 3 | (72+?) 2 | |||
[5,3,3] + | ± [I × I] | 2. (A 5 × A 5 ) | 7200 | 72 5 | 200 3 | 450 2 | ||
Grupos prismáticos poliédricos | ||||||||
[3,3,2] + | + 1 / 24 [O × O ] | A 4 × Z 2 | 24 | 4 3 | 4 3 | (6 + 6) 2 | ||
[4,3,2] + | ± 1/24 [O × O] | S 4 × Z 2 | 48 | 6 4 | 8 3 | (3 + 6 + 12) 2 | ||
[5,3,2] + | ± 1/60 [I × I] | A 5 × Z 2 | 120 | 12 5 | 20 3 | (15 + 30) 2 | ||
Grupos duoprismáticos | ||||||||
[2,2,2] + | +1/2 [D 4 × D 4 ] | 8 | 1 2 | 1 2 | 4 2 | |||
[3,2,3] + | +1/2 [D 6 × D 6 ] | 18 | 1 3 | 1 3 | 9 2 | |||
[4,2,4] + | +1/2 [D 8 × D 8 ] | 32 | 1 4 | 1 4 | 16 2 | |||
(p, q = 2,3,4 ...), mcd (p, q) = 1 | ||||||||
[p, 2, p] + | +1/2 [D 2p × D 2p ] | 2p 2 | 1 p | 1 p | (págs) 2 | |||
[p, 2, q] + | +1/2 [D 2p × D 2q ] | 2pq | 1 p | 1 q | (pq) 2 | |||
[p + , 2, q + ] | + [C p × C q ] | Z p × Z q | pq | 1 p | 1 q |
Simetría pentacorica
- Grupo pentacorico - A 4 , [3,3,3], (), Orden 120, (Du Val # 51' (I † / C 1 ; I / C 1 ) † * , Conway + 1 / 60 [I × I] 0,2 1 ), llamado así por el 5-célula (pentachoron) , dado por el diagrama de Coxeter anillado . A veces también se le llama grupo hiper-tetraédrico para extender el grupo tetraédrico [3, 3]. Hay 10 hiperplanos espejo en este grupo. Es isomorfo al grupo simétrico abstracto , S 5 .
- El grupo pentachórico extendido , Aut ( A 4 ), [[3,3,3]], (La duplicación puede ser insinuada por un diagrama plegado,), Orden 240, (Du Val # 51 (I † * / C 2 ; I / C 2 ) † * , Conway ± 1 / 60 [I × I ] 0,2). Es isomorfo al producto directo de grupos abstractos: S 5 × C 2 .
- El grupo pentacorico extendido quiral es [[3,3,3]] + , (), Orden 120, (Du Val # 32 (I † / C 2 ; I / C 2 ) † , Conway ± 1 / 60 [Ix I ]). Este grupo representa la construcción del omnisnub de 5 celdas ,, aunque no se puede uniformar. Es isomorfo al producto directo de grupos abstractos: A 5 × C 2 .
- El grupo pentacorico quiral es [3,3,3] + , (), Orden 60, (Du Val # 32' (I † / C 1 ; I / C 1 ) † , Conway + 1 / 60 [I × I ]). Es isomorfo al grupo alterno abstracto , A 5 .
- El grupo pentachoric quiral extendida es [[3,3,3] + ], orden 120, (Du Val # 51" (I † / C 1 ; I / C 1 ) - † * , Conway + 1 / 60 [Ixi] .2 3 ). Coxeter relaciona este grupo con el grupo abstracto (4,6 | 2,3). [13] También es isomorfo al grupo simétrico abstracto , S 5 .
- El grupo pentachórico extendido , Aut ( A 4 ), [[3,3,3]], (La duplicación puede ser insinuada por un diagrama plegado,), Orden 240, (Du Val # 51 (I † * / C 2 ; I / C 2 ) † * , Conway ± 1 / 60 [I × I ] 0,2). Es isomorfo al producto directo de grupos abstractos: S 5 × C 2 .
Simetría hexadecachórica
- Grupo hexadecachórico - B 4 , [4,3,3], (), Orden 384, (Du Val # 47 (O / V; O / V) * , Conway ± 1 / 6 [O × O] 0.2), el nombre de la 16-célula (hexadecachoron),. Hay 16 hiperplanos espejo en este grupo, que se pueden identificar en 2 conjuntos ortogonales: 12 de un subgrupo [3 1,1,1 ] y 4 de un subgrupo [2,2,2]. También se le llama un grupo hiper-octaédrico para extender el grupo octaédrico 3D [4,3], y el grupo tesseractic para el tesseract ,.
- El grupo quiral hexadecachórico es [4,3,3] + , (), Orden 192, (Du Val # 27 (O / V; O / V), Conway ± 1 / 6 [O × O]). Este grupo representa la construcción de un tesseract omnisnub ,, aunque no se puede uniformar.
- El grupo hexadecachórico iónico disminuido es [4, (3,3) + ], (), Orden 192, (Du Val # 41 (T / V; T / V) * , Conway ± 1 / 3 [T × T] 0,2). Este grupo conduce a la chatarra de 24 celdas con construcción.
- El grupo medio hexadecachórico es [1 + , 4,3,3], ( = ), orden 192, y lo mismo que la simetría #demitesseractic : [3 1,1,1 ]. Este grupo se expresa en la construcción alterna de tesseract de 16 celdas , = .
- El grupo [1 + , 4, (3,3) + ], ( = ), orden 96, y lo mismo que el grupo quiral demitaseractic [3 1,1,1 ] + y también es el subgrupo conmutador de [4,3,3].
- Un subgrupo reflectante de alto índice es la simetría octaédrica prismática , [4,3,2] (), Orden 96, el índice de subgrupo 4, (Du Val # 44 (O / C 2 ; O / C 2 ) * , Conway ± 1 / 24 [O × O] 0,2). El prisma cúbico truncado tiene esta simetría con el diagrama de Coxetery el prisma cúbico es una construcción de simetría más baja del tesseract , como.
- Su subgrupo quiral es [4,3,2] + , (), Orden 48, (Du Val # 26 (O / C 2 ; O / C 2 ), Conway ± 1 / 24 [O × O]). Un ejemplo es el antiprisma cúbico chato ,, aunque no se puede uniformar.
- Los subgrupos iónicos son:
- [(3,4) + , 2], (), Orden 48, (Du Val # 44b'(O / C 1 ; O / C 1 ) - * , Conway + 1 / 24 [O × O] 0.2 1 ). El prisma cúbico chato tiene esta simetría con el diagrama de Coxeter.
- [(3,4) + , 2 + ], (), Orden 24, (Du Val # 44' (T / C 2 ; T / C 2 ) - * , Conway + 1 / 12 [T × T] 0,2 1 ).
- [4,3 + , 2], (), Orden 48, (Du Val # 39 (T / C 2 ; T / C 2 ) c * , Conway ± 1 / 12 [T × T] 0,2).
- [4,3 + , 2,1 + ] = [4,3 + , 1] = [4,3 + ], ( = ), Orden 24, (Du Val # 44" (T / C 2 ; T / C 2 ) * , Conway + 1 / 12 [T × T] 0,2 3 ) Este es el 3D. Grupo piritoedro , [4,3 + ].
- [3 + , 4,2 + ], (), Orden 24, (Du Val # 21 (T / C 2 ; T / C 2 ), Conway ± 1 / 12 [T × T]).
- [3,4,2 + ], (), Orden 48, (Du Val # 39' (T / C 2 ; T / C 2 ) - * , Conway ± 1 / 12 [T × T ] 0,2).
- [4, (3,2) + ], (), Orden 48, (Du Val # 40b'(O / C 1 ; O / C 1 ) - * , Conway + 1 / 24 [O × O ] 0.2 1 ).
- [(3,4) + , 2], (), Orden 48, (Du Val # 44b'(O / C 1 ; O / C 1 ) - * , Conway + 1 / 24 [O × O] 0.2 1 ). El prisma cúbico chato tiene esta simetría con el diagrama de Coxeter.
- Medio subgrupo [4,3,2,1 + ] = [4,3,1] = [4,3], ( = ), Orden 48 (Du Val # 44b"(O / C 1 ; O / C 1 ) c * , Conway + 1 / 24 [O × O] 0.2 3 .) Se llama el grupo octaédrico piramidal y es 3D octaédrica simetría , [4,3] Una pirámide cúbica puede tener esta simetría, con el símbolo de Schläfli : () ∨ {4,3}.
- Un medio subgrupo quiral [(4,3) + , 2,1 + ] = [4,3,1] + = [4,3] + , ( = ), Orden 24 (Du Val # 26b'(O / C 1 ; O / C 1 ), Conway + 1 / 24 [O × O]). Este es el grupo octaédrico quiral 3D , [4,3] + . Una pirámide cúbica chata puede tener esta simetría, con el símbolo de Schläfli: () ∨ sr {4,3}.
- Otro subgrupo reflectante de alto índice es la simetría tetraédrica prismática , [3,3,2], (), Orden 48, el índice de subgrupo 8, (Du Val # 40b"(O / C 1 ; O / C 1 ) * , Conway + 1 / 24 [O × O ] 0.2 3 ).
- El subgrupo quiral es [3,3,2] + , (), Orden 24, (Du Val # 26b"(O / C 1 ; O / C 1 ), Conway + 1 / 24 [O × O .]) Un ejemplo es la chata tetraédrica antiprisma ,, aunque no se puede uniformar.
- El subgrupo iónico es [(3,3) + , 2], (), Orden 24, (Du Val # 39b'(T / C 1 ; T / C 1 ) c * , Conway + 1 / 12 [T × T ] 0,2 3 ). Un ejemplo es el prisma tetraédrico chato ,.
- El medio subgrupo es [3,3,2,1 + ] = [3,3,1] = [3,3], ( = ), Orden 24, (Du Val # 39b"(T / C 1 ; T / C 1 ) - * , Conway + 1 / 12 [T × T ] 0,2 1 .) Se llama el grupo tetraédrico piramidal y es el Grupo tetraédrico 3D , [3,3]. Una pirámide tetraédrica regular puede tener esta simetría, con el símbolo de Schläfli: () ∨ {3,3}.
- El subgrupo de la mitad quiral [(3,3) + , 2,1 + ] = [3,3] + ( = ), Orden 12, (Du Val # 21b'(T / C 1 ; T / C 1 ), Conway + 1 / 12 [T × T]). Este es el grupo tetraédrico quiral 3D , [3,3] + . Una pirámide tetraédrica chata puede tener esta simetría, con el símbolo de Schläfli: () ∨ sr {3,3}.
- Otro subgrupo reflectante radial de alto índice es [4, (3,3) * ], índice 24, elimina espejos con ángulos diedros de orden 3, creando [2,2,2] (), orden 16. Otros son [4,2,4] (), [4,2,2] (), con índices de subgrupo 6 y 12, orden 64 y 32. Estos grupos son simetrías inferiores del tesseract : (), (), y (). Estos grupos son la simetría #duoprismática .
Simetría icositetrachórica
- Grupo icositetrachórico - F 4 , [3,4,3], (), Orden 1152, (Du Val # 45 (O / T; O / T) * , Conway ± 1 / 2 [OxO] 0,2), llamado así por el 24-célula (icositetrachoron),. Hay 24 planos de espejo en esta simetría, que se pueden descomponer en dos conjuntos ortogonales de 12 espejos en subgrupos de simetría demitaseráctica [3 1,1,1 ], como [3 * , 4,3] y [3,4,3 * ], como índice 6 subgrupos.
- El grupo icositetrachórico extendido , Aut ( F 4 ), [[3,4,3]], () tiene la orden 2304, (Du Val # 48 (O / O; O / O) * , Conway ± [O × O] .2).
- El grupo icositetrachórico extendido quiral , [[3,4,3]] + , () tiene la orden 1152, (Du Val # 25 (O / O; O / O), Conway ± [OxO]). Este grupo representa la construcción del omnisnub de 24 celdas ,, aunque no se puede uniformar.
- Los grupos icositetrachóricos disminuidos iónicos , [3 + , 4,3] y [3,4,3 + ], ( o ), tienen orden 576, (Du Val # 43 (T / T; T / T) * , Conway ± [T × T] .2). Este grupo conduce a la chatarra de 24 celdas con construcción o .
- El grupo icositetrachórico doble disminuido , [3 + , 4,3 + ] (la doble disminución se puede mostrar mediante un espacio en el diagrama de 4 ramas:), orden 288, (Du Val # 20 (T / T; T / T), Conway ± [T × T]) es el subgrupo del conmutador de [3,4,3].
- Puede ampliarse como [[3 + , 4,3 + ]], () orden 576, (Du Val # 23 (T / T; O / O), Conway ± [OxT]).
- El grupo icositetrachórico doble disminuido , [3 + , 4,3 + ] (la doble disminución se puede mostrar mediante un espacio en el diagrama de 4 ramas:), orden 288, (Du Val # 20 (T / T; T / T), Conway ± [T × T]) es el subgrupo del conmutador de [3,4,3].
- El grupo icositetrachórico quiral es [3,4,3] + , (), Orden 576, (Du Val # 28 (O / T; O / T), Conway ± 1 / 2 [O × O]).
- El grupo icositetrachoric quiral extendida , [[3,4,3] + ] tiene el fin 1152, (Du Val # 46 (O / T; O / T) - * , Conway ± 1 / 2 [OxO]. 2 ). Coxeter relaciona este grupo con el grupo abstracto (4,8 | 2,3). [13]
- El grupo icositetrachórico extendido , Aut ( F 4 ), [[3,4,3]], () tiene la orden 2304, (Du Val # 48 (O / O; O / O) * , Conway ± [O × O] .2).
Simetría demitasractica
- Grupo demitaseractic - D 4 , [3 1,1,1 ], [3,3 1,1 ] o [3,3,4,1 + ], ( = ), Orden 192, (Du Val # 42 (T / V; T / V) - * , Conway ± 1 / 3 [T × T ] 0,2), el nombre de la (demitesseract) 4-demicube construcción de la 16- célula, o . Hay 12 espejos en este grupo de simetría.
- Hay dos tipos de simetrías extendidas al agregar espejos: <[3,3 1,1 ]> que se convierte en [4,3,3] al dividir en dos el dominio fundamental por un espejo, con 3 orientaciones posibles; y el grupo extendido completo [3 [3 1,1,1 ]] se convierte en [3,4,3].
- El grupo demitaseractico quiral es [3 1,1,1 ] + o [1 + , 4, (3,3) + ], ( = ), Orden 96, (Du Val # 22 (T / V; T / V), Conway ± 1 / 3 [T × T]). Este grupo conduce a la chatarra de 24 celdas con construcción = .
Simetría hexacosicórica
[5,3,3] + 72 giros de orden 5 | [5,3,3] + 200 giros de orden 3 |
[5,3,3] + 450 giros de orden 2 | [5,3,3] + todos los giros |
[5,3], , el grupo piramidal icosaédrico es isomorfo a la simetría icosaédrica 3d |
- Grupo hexacosicórico - H 4 , [5,3,3], (), orden 14400, (Du Val # 50 (I / I; I / I) * , Conway ± [I × I] .2), llamado así por el hexacosichoron de 600 celdas ,. A veces también se le llama el grupo hiper-icosaédrico para extender el grupo icosaédrico 3D [5,3], y el grupo hecatonicosachórico o grupo dodecacontachórico de las 120 células ,.
- El grupo hexacosicórico quiral es [5,3,3] + , (), orden 7200, (Du Val # 30 (I / I; I / I), Conway ± [I × I]). Este grupo representa la construcción del desaire de 120 celdas ,, aunque no se puede uniformar.
- Un subgrupo reflectante de índice alto es la simetría icosaédrica prismática , [5,3,2], (), Orden 240, índice de subgrupo 60, (Du Val # 49 (I / C 2 ; I / C 2 ) * , Conway ± 1 / 60 [Ixi] 0,2).
- Su subgrupo quiral es [5,3,2] + , (), Orden 120, (Du Val # 31 (I / C 2 ; I / C 2 ), Conway ± 1 / 60 [Ixi]). Este grupo representa la construcción del antiprisma dodecaédrico chato ,, aunque no se puede uniformar.
- Un subgrupo iónico es [(5,3) + , 2], (), Orden 120, (Du Val # 49' (I / C 1 ; I / C 1 ) * , Conway + 1 / 60 [Ixi] 0,2 1 ). Este grupo representa la construcción del prisma dodecaédrico chato ,.
- Un medio subgrupo es [5,3,2,1 + ] = [5,3,1] = [5,3], ( = ), Orden 120, (Du Val # 49" (I / C 1 ; I / C 1 ) - * , Conway + 1 / 60 [Ixi] 0,2 3 ) Se llama el. Grupo piramidal icosaédrica y es el 3D icosaédrica grupo , [5,3]. Una pirámide dodecaédrica regular puede tener esta simetría, con el símbolo de Schläfli : () ∨ {5,3}.
- Un medio subgrupo quiral es [(5,3) + , 2,1 + ] = [5,3,1] + = [5,3] + , ( = ), Orden 60, (Du Val # 31' (I / C 1 ; I / C 1 ), Conway + 1 / 60 [Ixi]). Este es el grupo icosaédrico quiral 3D , [5,3] + . Una pirámide dodecaédrica chata puede tener esta simetría, con el símbolo de Schläfli : () ∨ sr {5,3}.
Simetría duoprismática
- Grupos duoprismáticos - [p, 2, q], (), orden 4 pq , existen para todos 2 ≤ p , q <∞. Hay p + q espejos en esta simetría, que se descomponen trivialmente en dos conjuntos ortogonales de pyq espejos de simetría diedro : [p] y [q].
- El subgrupo quiral es [p, 2, p] + , (), ordene 2 pq . Se puede duplicar como [[2p, 2,2p] + ].
- Si pyq son iguales, [p, 2, p], (), la simetría se puede duplicar como [[p, 2, p]], ().
- Duplicaciones: [[p + , 2, p + ]], (), [[2p, 2 + , 2p]], [[2p + , 2 + , 2p + ]].
- [p, 2, ∞], (), representa un grupo de líneas en 3 espacios,
- [∞, 2, ∞], () representa la simetría del plano euclidiano con dos conjuntos de espejos paralelos y un dominio rectangular ( orbifold * 2222).
- Los subgrupos incluyen: [p + , 2, q], (), [p, 2, q + ], (), [p + , 2, q + ], ().
- Y para valores pares: [2p, 2 + , 2q], (), [2p, 2 + , 2q + ], (), [(p, 2) + , 2q], (), [2p, (2, q) + ], (), [(p, 2) + , 2q + ], (), [2p + , (2, q) + ], (), [2p + , 2 + , 2q + ], () y el subgrupo de comunicadores, índice 16, [2p + , 2 + , 2q + ] + , ().
- Grupo duoprismático digonal - [2,2,2], (), orden 16.
- El subgrupo quiral es [2,2,2] + , (), orden 8.
- Extendido [[2,2,2]], (), orden 32. El duoprisma 4-4 tiene esta simetría extendida,.
- El grupo extendido quiral es [[2,2,2]] + , orden 16.
- El subgrupo quiral extendido es [[2,2,2] + ], orden 16, con generadores de rotorreflexión . Es isomorfo al grupo abstracto (4,4 | 2,2).
- Otro extendido [(3,3) [2,2,2]] = [4,3,3], orden 384, # simetría hexadecórica . El tesseract tiene esta simetría, como o .
- Los subgrupos iónicos disminuidos son [2 + , 2,2], orden 8.
- El subgrupo doble disminuido es [2 + , 2,2 + ], orden 4.
- Extendido como [[2 + , 2,2 + ]], orden 8.
- Los subgrupos de rotorreflexión son [2 + , 2 + , 2], [2,2 + , 2 + ], [2 + , (2,2) + ], [(2,2) + , 2 + ] orden 4.
- El subgrupo triple disminuido es [2 + , 2 + , 2 + ], (), orden 2. Es una doble rotación 2 veces y una inversión central 4D .
- El subgrupo doble disminuido es [2 + , 2,2 + ], orden 4.
- El medio subgrupo es [1 + , 2,2,2] = [1,2,2], orden 8.
- Grupo duoprismático triangular - [3,2,3],, orden 36.
- El subgrupo quiral es [3,2,3] + , orden 18.
- Extendido [[3,2,3]], orden 72. El duoprisma 3-3 tiene esta simetría extendida,.
- El grupo extendido quiral es [[3,2,3]] + , orden 36.
- El subgrupo quiral extendido es [[3,2,3] + ], orden 36, con generadores de rotorreflexión . Es isomorfo al grupo abstracto (4,4 | 2,3).
- Otros extendidos [[3], 2,3], [3,2, [3]], orden 72, y son isomorfos a [6,2,3] y [3,2,6].
- Y [[3], 2, [3]], orden 144, y es isomorfo a [6,2,6].
- Y [[[3], 2, [3]]], orden 288, isomorfo a [[6,2,6]]. El duoprisma 6-6 tiene esta simetría, como o .
- Los subgrupos iónicos disminuidos son [3 + , 2,3], [3,2,3 + ], orden 18.
- El subgrupo doble disminuido es [3 + , 2,3 + ], orden 9.
- Extendido como [[3 + , 2,3 + ]], orden 18.
- El subgrupo doble disminuido es [3 + , 2,3 + ], orden 9.
- Un subgrupo de índice alto es [3,2], orden 12, índice 3, que es isomorfo a la simetría diédrica en el grupo de tres dimensiones , [3,2], D 3h .
- [3,2] + , orden 6
- Grupo duoprismático cuadrado - [4,2,4],, orden 64.
- El subgrupo quiral es [4,2,4] + , orden 32.
- Extendido [[4,2,4]], orden 128. El duoprisma 4-4 tiene esta simetría extendida,.
- El grupo extendido quiral es [[4,2,4]] + , orden 64.
- El subgrupo quiral extendido es [[4,2,4] + ], orden 64, con generadores de rotorreflexión . Es isomorfo al grupo abstracto (4,4 | 2,4).
- Otros extendidos [[4], 2,4], [4,2, [4]], orden 128, y son isomorfos a [8,2,4] y [4,2,8]. El duoprisma 4-8 tiene esta simetría, como o .
- Y [[4], 2, [4]], orden 256, y es isomorfo a [8,2,8].
- Y [[[4], 2, [4]]], orden 512, isomorfo a [[8,2,8]]. El duoprisma 8–8 tiene esta simetría, como o .
- Los subgrupos iónicos disminuidos son [4 + , 2,4], [4,2,4 + ], orden 32.
- El subgrupo doble disminuido es [4 + , 2,4 + ], orden 16.
- Extendido como [[4 + , 2,4 + ]], orden 32.
- Los subgrupos de rotorreflexión son [4 + , 2 + , 4], [4,2 + , 4 + ], [4 + , (2,4) + ], [(4,2) + , 4 + ], (, , , ) orden 16.
- El subgrupo triple disminuido es [4 + , 2 + , 4 + ], (), orden 8.
- El subgrupo doble disminuido es [4 + , 2,4 + ], orden 16.
- Los medios subgrupos son [1 + , 4,2,4] = [2,2,4], (), [4,2,4,1 + ] = [4,2,2], (), orden 32.
- [1 + , 4,2,4] + = [2,2,4] + , (), [4,2,4,1 + ] + = [4,2,2] + , (), orden 16.
- La mitad de nuevo subgrupo es [1 + , 4,2,4,1 + ] = [2,2,2], (), orden 16.
- [1 + , 4,2,4,1 + ] + = [1 + , 4,2 + , 4,1 + ] = [2,2,2] + , () orden 8
Resumen de algunos grupos de puntos de 4 dimensiones
Este es un resumen de grupos de puntos de 4 dimensiones en notación Coxeter . 227 de ellos son grupos de puntos cristalográficos (para valores particulares de pyq). [14] [ ¿cuál? ] (nc) se da para grupos no cristalográficos. Algún grupo cristalográfico [ ¿cuál? ] tienen sus órdenes indexados (order.index) por su estructura de grupo abstracta. [15]
Grupos finitos | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Ver también
- Grupo de puntos
- Grupos de puntos en dos dimensiones
- Grupos de puntos en tres dimensiones
Referencias
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- ^ http://met.iisc.ernet.in/~lord/webfiles/Alan/CV25.pdf
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- ^ Johnson (2015), Capítulo 11, Sección 11.5 Grupos esféricos de Coxeter
- ^ ¿Qué son los poliedros? , con prefijos numéricos griegos
- ^ a b Coxeter, Los grupos abstractos G m; n; p , (1939)
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- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- HSM Coxeter y WOJ Moser. Generadores y relaciones para grupos discretos 4ª ed, Springer-Verlag. Nueva York. 1980 p92, p122.
- John .H. Conway y MJT Guy : Politopos de Arquímedes tetradimensionales , Actas del coloquio sobre convexidad en Copenhague, páginas 38 y 39, 1965
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- NW Johnson : Geometrías y Transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finita , 11.5 Grupos esféricos de Coxeter , p. 249
- John H. Conway y Derek A. Smith, Sobre cuaterniones y octoniones , 2003, ISBN 978-1-56881-134-5
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26)
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Policorón uniforme" . MathWorld .
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D" .